Question

5．如图，AB是⊙O的直径，BT是⊙O的切线，若∠ATB=45°，AB=2，则阴影部分的面积是（　　）

• A． 2
• B． $\frac{3}{2}$-$\frac{1}{4}$π
• C． 1
• D． $\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$π

Answer 1

分析 设AT交⊙O于D，连结BD，先根据圆周角定理得到∠ADB=90°，则可判断△ADB、△BDT都是等腰直角三角形，所以AD=BD=TD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{2}$，然后利用弓形AD的面积等于弓形BD的面积得到阴影部分的面积=S_△BTD．

解答 解：∵BT是⊙O的切线；
设AT交⊙O于D，连结BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
而∠ATB=45°，
∴△ADB、△BDT都是等腰直角三角形，
∴AD=BD=TD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{2}$，
∴弓形AD的面积等于弓形BD的面积，
∴阴影部分的面积=S_△BTD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=1．
故选C．

点评 本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是利用等腰直角三角形的性质把阴影部分的面积转化为三角形的面积．