【题目】如图,已知点O到△ABC的两边AB,AC所在直线的距离相等,且OB=OC.
(1)如图①,若点O在BC上,求证:△ABC是等腰三角形.
(2)如图②,若点O在△ABC内部,求证AB=AC.
(3)若点O在△ABC的外部,AB=AC还成立吗?请画图说明.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)AB=AC不一定成立.
【解析】
(1)对于图①,过O作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,根据HL证Rt△OEB≌Rt△OFC,根据全等三角形的性质得出∠ABC=∠ACB,即可得出答案;
(2)对于图②,过O作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,根据HL证Rt△OEB≌Rt△OFC,根据全等三角形的性质得出∠EBO=∠FCO,即可得出答案;
(3)画出符合条件的两种情况:图③和图④,根据HL证Rt△OEB≌Rt△OFC,根据全等三角形的性质得出∠EBO=∠FCO,即可得出答案.
(1)证明:如图,过O作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,则∠OEB=∠OFC=90°.
∵点O到△ABC的两边AB,AC所在直线的距离相等,
∴OE=OF.
在Rt△OEB和Rt△OFC中,
,
∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL).
∴∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC,
即△ABC是等腰三角形.
(2)证明:如图,过O作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,则∠OEB=∠OFC=90°.
∵点O到△ABC的两边AB,AC所在直线的距离相等,
∴OE=OF.
在Rt△OEB和Rt△OFC中,
,
∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL).
∴∠ABO=∠ACO.
∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.
∴∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC.
(3)解:AB=AC不一定成立.
理由:当∠BAC的平分线所在直线和BC的垂直平分线重合时,如图③,过O作OE⊥AB交AB的延长线于E,OF⊥AC交AC的延长线于F,则∠OEB=∠OFC=90°.
∵点O到△ABC的两边AB,AC所在直线的距离相等,
∴OE=OF.
在Rt△OEB和Rt△OFC中,
,
∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL).
∴∠EBO=∠FCO.
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB.
∵∠ABC=180°-(∠OBC+∠EBO),
∠ACB=180°-(∠OCB+∠FCO),
∴∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC.
当∠BAC的平分线所在直线和BC的垂直平分线不重合时,如图④,∠ABC和∠ACB不相等,∴AB≠AC.
综上,AB=AC不一定成立.
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【题目】某公司销售部有营销人员15人,销售部为了制定某种商品的月销售定额,统计了这15人某月的销售如下:
每人销售件数 | 1800 | 510 | 250 | 210 | 150 | 120 |
人数 | 1 | 1 | 3 | 5 | 3 | 2 |
(1)求这15位营销人员该月销售量的平均数、中位数和众数.
(2)假设销售部负责人把每位营销员的月销售额定为320件,你认为是否合理?为什么?如不合理,请你制定一个合理的销售定额,并说明理由.
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【题目】勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出( )
A.直角三角形的面积
B.最大正方形的面积
C.较小两个正方形重叠部分的面积
D.最大正方形与直角三角形的面积和
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【题目】如图,已知:在平面直角坐标系中,每个小正方形的边长为1,△ABC的顶点都在格点上,点A的坐标为(-3,2).请按要求分别完成下列各小题:
(1)把△ABC向下平移7个单位,再向右平移7个单位,得到△A1B1C1,画出△A1B1C1;
(2)画出△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2;
画出△A1B1C1关于y轴对称的△A3B3C3;
(3)求△ABC的面积.
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【题目】下列条件中,不能判断△ABC是直角三角形的是( )
A. a:b:c=3:4:5 B. ∠A:∠B:∠C=3:4:5
C. ∠A+∠B=∠C D. a:b:c=1:2:
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【题目】如图,A(4,3)是反比例函数y=在第一象限图象上一点,连接OA,过A作AB∥x轴,截取AB=OA(B在A右侧),连接OB,交反比例函数y=的图象于点P.
(1)求反比例函数y=的表达式;
(2)求点B的坐标;
(3)求△OAP的面积.
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【题目】如图①,AE是⊙O的直径,点C是⊙O上的点,连结AC并延长AC至点D,使CD=CA,连结ED交⊙O于点B.
(1)求证:点C是劣弧的中点;
(2)如图②,连结EC,若AE=2AC=6,求阴影部分的面积.
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