Question

如图1，AB、CD是两条线段，M是AB的中点，S_△DMC、S_△DAC、S_△DBC分别表示△DMC、△DAC、△DBC的面积．当AB∥CD时，则有S_△DMC=

S△DAC+S△DBC

2

．
（1）如图2，M是AB的中点，AB与CD不平行时，作AE、MN、BF分别垂直DC于E、N、F三个点，问结论①是否仍然成立？请说明理由．
（2）若图3中，AB与CD相交于点O时，问S_△DMC、S_△DAC和S_△DBC三者之间存在何种相等关系？试证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）先看题中给出的条件为何成立，由于三角形ADC，DMC，DBC都是同底，而由于AB∥DC，因此高相等，就能得出题中给出的结论，那么本题也要用高来求解，过A，M，B分别作BC的垂线AE，MN，BF，AE∥MN∥BF，由于M是AB中点，因此MN是梯形AEFB的中位线，因此MN=

1

2

（AE+BF），三个三角形同底因此结论①是成立的．
（2）本题可以利用AM=MB，让这两条边作底边来求解，三角形ADB中，小三角形的AB边上的高都相等，那么三角形ADM和DBM的面积就相等（等底同高），因此三角形OAD，OMD的和就等于三角形BMD的面积，同理三角形AOC和OMC的面积和等于三角形CMB的面积．根据这些等量关系即可得出题中三个三角形的面积关系．

解答：解：（1）当AB和CD不平行时，结论①仍然成立．
如图，由已知，可得AE、BF和MN两两平行，
∴四边形AEFB是梯形．
∵M为AB的中点，
∴MN是梯形AEFB的中位线．
∴MN=

1

2

（AE+BF）．
∴S_△DAC+S_△DBC=

1

2

DC•2MN=2S_△DMC，
∴S_△DMC=

S△DAC+S△DBC

2

．

（2）∵M为AB的中点，
∴S_△ADM=S_△BDM，S_△ACM=S_△BCM，
∴S_△DCM=S_△MOD+S_△MOC
=（S_△AMD-S_△AOD）+（S_△AMC-S_△AOC）
=（S_△BDM+S_△BCM）-（S_△AOD+S_△AOC）
=（S_△DBC-S_△DMC）-S_△DAC，
∴2S_△DCM=S_△DBC-S_△DAC，
∴S_△DMC=

S△DBC-S△DAC

2

．

点评：本题主要考查了梯形中位线定理的应用，根据中位线或中点得出三角形的底相等或高成比例是解题的关键．