Question

16．已知AB是半圆O的直径，点C在BA的延长线上运动（点C与点A不重合），以OC为直径的半圆M与半圆O交于点D，∠DCB的平分线与半圆M交于点E，作EF⊥AB于点F，设EF=a．（如图1）
（1）求半圆O的半径（用a的代数式来表示）；
（2）过点E作CB的平行线交CD于点N，当NA与半圆O相切时（如图2），求∠EOC的正切值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接OD、OE，延长OE交CD于K，作EG⊥CD于G，则EG∥OD．只要证明GE是△OKD的中位线即可解决问题；
（2）如图2中，延长OE交CD于K，设OF=x，EF=y，则OA=2y，由Rt△CEF～Rt△EOF，可得EF²=CF•OF，即y²=x（4y-3x），解得$\frac{y}{x}$=3或1，由此即可解决问题；

解答 解：（1）如图1中，连接OD、OE，延长OE交CD于K，作EG⊥CD于G，则EG∥OD．

∵CE平分∠DCB，
∴∠OCE=∠KCE，
∵EF⊥AB，
∴EG=EF=a，
∵OC是半圆M的直径，E为半圆M上一点，
∴∠CEO=∠CEK=90°，
∵OE=OE，
∴△COE≌△CKE，
∴OE=KE，
∵EG∥OD，
∴OD=OA=2EG=2EF=2a，
即⊙O的半径为2a．

（2）如图2中，延长OE交CD于K，设OF=x，EF=y，则OA=2y，

∵NE∥CB，EF⊥CB，NA切⊙O于A，
∴四边形AFEN是矩形，
∴NE=AF=OA-OF=2y-x，同（1）证法可得E是OK中点，
∴N是CK的中点，
∴CO=2NE=2（2y-x），
∴CF=CO-OF=4y-3x，
∵EF⊥AB，CE⊥EO，
∴Rt△CEF～Rt△EOF，
∴EF²=CF•OF，即y²=x（4y-3x），解得$\frac{y}{x}$=3或1，
当$\frac{y}{x}$=3时，tan∠EOC=$\frac{EF}{OF}$=$\frac{y}{x}$=3，
当$\frac{y}{x}$=1时，点C与点A重合，不符合题意，故舍弃，
∴tan∠EOC=3．

点评 本题考查切线的性质、垂径定理、三角形的中位线定理、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．