Question

14．已知一次函数y=kx+b与x轴交于A点，与y轴交于B点，反比例函数y=-$\frac{k}{x}$（x＞0）与直线AB只有一个交点，求S_△AOB的值．

Answer 1

分析 先根据坐标轴上点的坐标特征得到B（0，b），A（-$\frac{b}{k}$，0），根据三角形面积公式得到S_△AOB=$\frac{1}{2}$$•\frac{{b}^{2}}{k}$，再利用反比例函数y=-$\frac{k}{x}$（x＞0）与直线AB只有一个交点得到kx²+bx+k=0有两个相等的实数解，根据判别式的意义得到△=b²-4k²=0，即b²=4k²，然后把b²=4k²代入S_△AOB=$\frac{1}{2}$•$\frac{4{k}^{2}}{k}$中，然后化简即可．

解答 解：当x=0时，y=kx+b=b，则B（0，b）；当y=0时，kx+b=0，解得k=-$\frac{b}{k}$，则A（-$\frac{b}{k}$，0），
∵k＞0，b＜0，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$•（-b）•（-$\frac{b}{k}$）=$\frac{1}{2}$$•\frac{{b}^{2}}{k}$，
∵反比例函数y=-$\frac{k}{x}$（x＞0）与直线AB只有一个交点，
∴方程kx+b=-$\frac{k}{x}$有一个解，
即kx²+bx+k=0有两个相等的实数解，
∴△=b²-4k²=0，即b²=4k²，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$$•\frac{{b}^{2}}{k}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{4{k}^{2}}{k}$=2k．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．