Question

已知在矩形ABCD中，AD＞AB，O为对角线的交点，过O作一直线分别交BC、AD于M、N
（1）求证：S_梯形ABMN=S_梯形CDNM；
（2）当M、N满足什么条件时，将矩形ABCD以MN为折痕翻折后能使C点恰好与A点重合（只写出满足的条件，不要求证明）；
（3）在（2）的条件下，若翻折后不重叠部分的面积是重叠部分面积的，求的值．

Answer 1

（1）证明：如图（一），连AC、BD交于O，
∵AD∥BC，
∴∠DNM=∠BMN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，
∵∠BOM=∠DON，
∴△DON≌△BOM，
∴ND=BM，
同理可证△AON≌△COM，
∴AN=MC，
∴AN+ND=BM+MC，
∵AB=CD，
∴S_梯形ABMN=S_梯形CDNM；

（2）解：如图（二），
∵当A点与C点重合时，△AMO≌△CMO，
∴MN⊥AC，这是MN应满足的条件；

（3）解：如图（二），
∵AB=CD=AD′，
∵∠BAM+∠MAN=90°，∠MAN+∠NAD′=90°，
∴∠BAM=∠NAD′，又∠B=∠D′=90°，
∴△ABM≌△AD′N，
∴△ABM和△AD′N的面积相等，MC=AM=AN，
∵重叠部分是△AMN，不重叠部分是△ABM和△AD′N．
∴=，即=，
故=．
分析：（1）连AC、BD交于O，根据四边形ABCD是矩形可求出△DON≌△BOM，△AON≌△COM，再由梯形的面积即可求解；
（2）根据图形翻折不变性的性质即可解答；
（3）根据图形翻折后不重叠部分的面积是重叠部分面积的列出关系式，再把三角形面积的比转化为的比即可．
点评：本题考查的是图形翻折变换的性质、梯形的面积公式及三角形的面积，熟知以上知识是解答此题的关键．