Question

11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AE∥DC交BC于点E，BF⊥AE于F，AD=2，BC=7，CF=4，且∠ABF=∠DCF．
（1）求AB的长；
（2）求梯形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）先证明四边形AECD是平行四边形，得出AE=CD，CE=AD=2，BE=5，由等腰梯形的性质和已知条件得出∠FBC=∠FCB，得出BF=CF=4，由勾股定理求出EF，设AF=x，则AB=AE=x+3，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程，解方程求出x，即可得出AB的长；
（2）作AG⊥BC于G，作AH⊥BC于H，则BG=$\frac{1}{2}$（BC-AD）=$\frac{5}{2}$，由勾股定理求出AG，再由梯形的面积即可得出结果．

解答 解：（1）∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE=CD，CE=AD=2，
∴BE=BC-CE=7-2=5，
∵AB=CD，
∴AB=AE，∠ABC=∠DCB，
∵∠ABF=∠DCF，
∴∠FBC=∠FCB，
∴BF=CF=4，
∵BF⊥AE，
∴∠AFB=∠BFE=90°，
∴EF=$\sqrt{B{E}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
设AF=x，则AB=AE=x+3，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF²+BF²=AB²，
即x²+4²=（x+3）²，
解得：x=$\frac{7}{6}$，
∴AB=$\frac{7}{6}$+3=$\frac{25}{6}$；
（2）作AG⊥BC于G，AH⊥BC于H，如图所示：
则四边形AGHD是矩形，
∴GH=AD=2，
∴BG=$\frac{1}{2}$（BC-AD）=$\frac{5}{2}$，∠AGB=90°，
∴AG=$\sqrt{A{B}^{2}-B{G}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{25}{6}）^{2}-（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{10}{3}$，
∴梯形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$（AD+BC）•AG=$\frac{1}{2}$（2+7）×$\frac{10}{3}$═15．

点评 本题考查了梯形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握梯形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．