Question

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（-4，0），点B的坐标是（0，b）（b＞0），P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C，记点P关于y轴的对称点为P′（点P′不在y轴上），连接PP′，P′A，P′C，设点P的横坐标为a。
（1）当b=3时，
①求直线AB的解析式；
②若点P′的坐标是（-1，m），求m的值；
（2）若点P在第一象限，记直线AB与P′C的交点为D，当P′D：DC=1：3时，求a的值；
（3）是否同时存在a，b，使△P′CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）①设直线AB的解析式为y=kx+3，把x=-4，y=0代入得：
-4k+3=0，
∴k=，
∴直线的解析式是：y=x+3，
②由已知得点P的坐标是（1，m），
∴m=×1+3=；
（2）∵PP′∥AC， △PP′D∽△ACD，
∴，即，
∴a=；
（3）以下分三种情况讨论，
①当点P在第一象限时，
1）若∠AP′C=90°，P′A=P′C（如图1）过点P′作P′H⊥x轴于点H，
∴PP′=CH=AH=P′H=AC，
∴2a=（a+4）
∴a=
∵P′H=PC=AC，△ACP∽△AOB
∴，
即，
∴b=2；
2）若∠P′AC=90°，P′A=CA，
则PP′=AC，
∴2a=a+4，
∴a=4，
∵P′A=PC=AC，△ACP∽△AOB，
∴，即=1，
∴b=4，
3）若∠P′CA=90°，则点P′，P都在第一象限内，这与条件矛盾，
∴△P′CA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形，
②当点P在第二象限时，∠P′CA为钝角（如图3），此时△P′CA不可能是等腰直角三角形；
③当P在第三象限时，∠P′CA为钝角（如图4），此时△P′CA不可能是等腰直角三角形，
∴所有满足条件的a，b的值为或。