Question

3．对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如：
如图①，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA与A′B′C′A′环绕的方向相同，因此△ABC与△A′B′C′互为顺相似；
如图②△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA与A′B′C′A′环绕的方向相反，因此△ABC与△A′B′C′互为逆相似；

（1）根据图Ⅰ、图Ⅱ、图Ⅲ满足的条件，可分别得下列三对相似三角形：
①△ADE与△ABC；②△FGH与△FNM③△OSK与△OQP．其中，互为顺相似的是①；互为逆相似的是②③．（填写所有符合要求的序号）

（2）如图在锐角△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，点P在△ABC的边上（不与A、B、C重合）过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由．（请至少画出三种截法）

Answer 1

分析 （1）根据互为顺相似和互为逆相似的定义即可作出判断；
（2）根据点P在△ABC边上的位置分为三种情况，需要分类讨论，根据题意逐一分析求解即可．

解答 解：（1）根据题意得：互为顺相似的是①，互为逆相似的是②③；
故答案为：①；②③．
（2）根据点P在△ABC边上的位置分为以下三种情况：
第一种情况：如图①所示：
点P在BC（不含点B、C）上，
过点P只能画出2条截线PQ₁、PQ₂，分别使∠CPQ₁=∠A，∠BPQ₂=∠A，
此时△PQ₁C、△PBQ₂都与△ABC互为逆相似．
第二种情况：如图②所示：
点P在AC（不含点A、C）上，
过点B作∠CBM=∠A，BM交AC于点M．
当点P在AM（不含点M）上时，
过点P₁只能画出1条截线P₁Q，使∠AP₁Q=∠ABC，
此时△AP₁Q与△ABC互为逆相似；
当点P在CM上时，
过点P₂只能画出2条截线P₂Q₁、P₂Q₂，分别使∠AP₂Q₁=∠ABC，∠CP₂Q₂=∠ABC，
此时△AP₂Q₁、△Q₂P₂C都与△ABC互为逆相似．
第三种情况：如图③所示：
点P在AB（不含点A、B）上，
过点C作∠BCD=∠A，∠ACE=∠B，CD、CE分别交AB于点D、E．
当点P在AD（不含点D）上时，
过点P只能画出1条截线P₁Q，使∠AP₁Q=∠ACB，
此时△AQP₁与△ABC互为逆相似；
当点P在DE上时，过点P₂只能画出2条截线P₂Q₁、P₂Q₂，分别使∠AP₂Q₁=∠ACB，∠BP₂Q₂=∠BCA，
此时△AQ₁P₂、△Q₂BP₂
都与△ABC互为逆相似；
当点P在BE（不含点E）上时，过点P₃只能画出1条截线P₃Q′，使∠BP₃Q′=∠BCA，
此时△Q′BP₃与△ABC互为逆相似．

点评 本题是相似形综合题目，主要考查了相似三角形的知识点、分类讨论的数学思想以及接受与理解新生事物的能力；准确理解题设条件中“顺相似”“逆相似”的定义是正确解题的先决条件，在分析与解决问题的过程中，要考虑全面，进行分类讨论，避免漏解．