Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为圆心、3为半径作⊙O，⊙O与x轴交于点B、C.点P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为.连结AP，将沿AP翻折，得到，求有一边所在直线与⊙O相切时的值.

Answer 1

【答案】或或.

【解析】

分三种情况，先求得OQ，进而根据三角形面积公式求得AP，然后根据勾股定理列出方程，解方程即可．

解：当AQ与⊙O相切时，如图1，

设AQ切⊙O于点D，连接OQ，交AP于M，连接OD，
∵AD切⊙O于点D，
∴OD⊥AQ，OD=3，
∵OA=5，
∴AD=4，
∵A（5，0），
OA=AQ=5，
∴QD=1，

∴OQ=

∵将△OAP沿AP翻折，得到△APQ．
∴OQ⊥AP，OM=MQ=

∵OP=t，OA=5，
∴APOM=OAOP，即AP=5t，
∴AP=t，
在Rt△AOP中，AP2=OP2+OA2，解10t2=t2+25，

解得t=；
当AP与⊙O相切时，如图2，

，
设AP切⊙O于点E，连接OQ，
∵将△OAP沿AP翻折，得到△APQ．
∴OQ⊥AP，
∴OQ经过点E，
∴OE⊥AP，
∵APOE=OAOP，即3AP=5t，

∴AP=t，
在Rt△AOP中，AP2=OP2+OA2，解（t）2=t2+25，
解得t=，

当PQ与⊙O相切时，如图3，

设PQ切⊙O于点E，连接OE，
∴OE⊥PQ，
∵AQ⊥PQ，
∴OE∥AQ，
∴△ODE∽△ADQ，

即

∴PD=DQ-PQ= -t，
∵ODOP=PDOE，

解得t=

综上，△APQ有一边所在直线与⊙O相切时t的值为或或.