Question

如图，BC是半圆O的直径，割线EDB交半圆O于D，A是半圆O上一点，AD=DC，EC=3，BD=2.5，tan∠DCE=

2

5

5

．
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）求AB的长．

Answer 1

分析：（1）欲证EC为切线，即证∠ECB=90°．
（2）连接AC交BD与F，根据相似三角形的判定可得到△ADF∽△BCF根据相似比即可求得AB的长．

解答：（1）证明：∵BC为直径
∴∠BDC=∠CDE=90°
∵tan∠DCE=

ED

DC

=

2 5

5

设ED=2

5

x，DC=5x
∵EC=3
∴ED²+DC²=EC²∴（2

5

x）²+（5x）²=9
∴x=

5

5

∴DE=2，DC=

5

∵tan∠DBC=

DC

BD

=

2 5

5

=tan∠DCE
∴∠DBC=∠DCE
∴∠DCE+∠DCB=∠DBC+∠DCB=90°
∴EC为切线．

（2）解：连AC交BD于F
由（1）得，AD=DC=

5

，BC=

3

2

5

∵△ADF∽△BCF
∴

DF

CF

=

AD

BC

=

2

3

设DF=2x，则CF=3x
∵CF²-DF²=CD²
∴9x-4x=5
∴x=1
∴DF=2，CF=3
∴BF=

1

2

∵AF=

DF•BF

CF

=

1

3

∴AB=

BF2-AF2

=

1

6

5

．

点评：此题主要考查了三角函数、相似的判定、勾股定理以及相交弦定理等知识点的综合运用．