Question

如图：已知直线y=kx+1经过点A（3，﹣2）、点B（a，2），交y轴于点M，
（1）求a的值及AM的长；
（2）在x轴的负半轴上确定点P，使得△AMP成等腰三角形，请你直接写出点P的坐标； （3）将直线AB绕点A逆时针旋转45°得到直线AC，点D（﹣3，b）在AC上，连接BD，设BE是△ABD的高，过点E的射线EF将△ABD的面积分成2：3两部分，交△ABD的另一边于点F，求点F的坐标．

Answer 1

解：（1）∵点A（3，﹣2）在直线y=kx+1上，
∴﹣2=3x+1，
∴k=﹣1，
∴解析式为y=﹣x+1，
把点B坐标代入解析式， 得：2=﹣a+1，∴a=﹣1，
∴点B坐标为（﹣1，2），
令x=0，则y=1，
∴点M的坐标为（0，1），
∴AM==3；
（2）设P点坐标为（a，0），
①当AP=MP时，则△APM是等腰三角形，
∴（a﹣3）²+4=a²+1，解得：a=2，
∴P坐标（2，0）；不符合题意，故舍去，
②当AM=AP时，∴3=，
解得a=3﹣，
∴P坐标（3﹣，0）；
③当MP=AM=3时，点P的坐标为（﹣，0）；
（3）直线AB绕点A逆时针旋转45°时，得到的直线AC与x轴平行，
∴D（﹣3，b），∴b=﹣2，
∵BE是△ABD的高，
∴点E坐标为（﹣1，﹣2），
∴AD=6，BE=4，
又S_△ABD=AD·BE=6×4=12，
EF将△ABD的面积分成2：3两部分，
∴两部分面积分别为12×=，12×=，
设点F在AB上，则F点坐标为（a，b），则×4×（2+b）=，
∴b=，
将F（a，）代入y=﹣x+1得，a=，同理可得另一种可能F（﹣，），
若F在AB上，F或F，
若F在BD上，由S_△BDE=DE·BE=4＜12×=，
故这种情况不存在．