在△ABC中.D为BC的中点.O为AD的中点.直线l过点O．过A.B.C三点分别做直线l的垂线.垂足分别是G.E.F.设AG=h1.BE=h2.CF=h3．(1)如图所示.当直线l⊥AD时．求证:h2+h3=2h1,(2)将直线l绕点O旋转.使得l与AD不垂直．①如图所示.当点B.C在直线l的同侧时.猜想(1)中的结论是否成立.请说明你的理由,②如图所示.当点B.C在直线l的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（2010•乐山）在△ABC中，D为BC的中点，O为AD的中点，直线l过点O．过A、B、C三点分别做直线l的垂线，垂足分别是G、E、F，设AG=h₁，BE=h₂，CF=h₃．
（1）如图所示，当直线l⊥AD时（此时点G与点O重合）．求证：h₂+h₃=2h₁；
（2）将直线l绕点O旋转，使得l与AD不垂直．
①如图所示，当点B、C在直线l的同侧时，猜想（1）中的结论是否成立，请说明你的理由；
②如图所示，当点B、C在直线l的异侧时，猜想h₁、h₂、h₃满足什么关系．（只需写出关系，不要求说明理由）

【答案】分析：（1）因为BE⊥l，GF⊥l，所以四边形BCFE是梯形，又因为D是BC的中点，由梯形的中位线定理可得BE+CF=2DG，O为AD的中点，故可证h₂+h₃=2h₁；
（2）①过点D作DH⊥l，垂足为H，根据AAS易证△AGO≌△DHO，所以DH=AG，又因为D为BC的中点，由梯形的中位线性质可得2AG=BE+CF，故（1）结论成立；②h₁、h₂、h₃满足关系：h₂-h₃=2h₁．
解答：

（1）证明：∵BE⊥l，CF⊥l，
∴CF∥EB．
又由图知，EF≠BC，
∴四边形BCFE是梯形
又∵GD⊥l，D是BC的中点，
∴GD∥FC，
∴DG是梯形的中位线
∴BE+CF=2DG
又∵O为AD的中点
∴AG=DG
∴BE+CF=2AG
即h₂+h₃=2h₁；

（2）①成立；
证明：过点D作DH⊥l，垂足为H，
在△AGO和△DHO中，
∵

∴△AGO≌△DHO（AAS）
∴DH=AG，
∵DH⊥L，BE⊥L，CF⊥L，
∴BE∥DH∥FC，
又∵D为BC的中点，由梯形的中位线性质
∴2DH=BE+CF，即2AG=BE+CF
∴h₂+h₃=2h₁成立；
②h₁、h₂、h₃满足关系：h₂-h₃=2h₁．
点评：此题把梯形、梯形的中位线定理和全等三角形的判定结合求解．考查学生综合运用数学知识的能力．

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