【题目】如图,有一拱桥的桥拱是圆弧形,已知桥拱的水面跨度AB(弧所对的弦的长)为8米,拱高CD(弧的中点到弦的距离)为2米.
(1)求桥拱所在圆的半径长;
(2)如果水面AB上升到EF时,从点E测得桥顶D的仰角为α,且cotα=3,求水面上升的高度.
【答案】(1)桥拱所在圆的半径长为5米;(2)水面上升的高度为1米
【解析】
(1)根据点D是 中点, 知C为AB中点,联结OA,设半径OA=OD=R,OC=OD﹣DC=R﹣2,在Rt△ACO中,由勾股定理求出半径.
(2) 设OD与EF相交于点G,联结OE,由EF∥AB,OD⊥AB,得到OD⊥EF,进而找出EG=3DG,设水面上升的高度为x米,即CG=x,则DG=2﹣x,在Rt△EGO中根据勾股定理求出x即可.
解:(1)∵点D是 中点,,
∴AC=BC,DC经过圆心,
设拱桥的桥拱弧AB所在圆的圆心为O,
∵AB=8,
∴AC=BC=4,
联结OA,设半径OA=OD=R,OC=OD﹣DC=R﹣2,
∵OD⊥AB,
∴∠ACO=90°,
在Rt△ACO中,∵OA2=AC2+OC2,
∴R2=(R﹣2)2+42,
解之得R=5.
答:桥拱所在圆的半径长为5米.
(2)设OD与EF相交于点G,联结OE,
∵EF∥AB,OD⊥AB,
∴OD⊥EF,
∴∠EGD=∠EGO=90°,
在Rt△EGD中, ,
∴EG=3DG,
设水面上升的高度为x米,即CG=x,则DG=2﹣x,
∴EG=6﹣3x,
在Rt△EGO中,∵EG2+OG2=OE2,
∴(6﹣3x)2+(3+x)2=52,
化简得 x2﹣3x+2=0,解得 x1=2(舍去),x2=1,
答:水面上升的高度为1米.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,AB=10,点E在正方形内部,且AE⊥BE,cot∠BAE=2,如果以E为圆心,r为半径的⊙E与以CD为直径的圆相交,那么r的取值范围为_____.
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【题目】在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6.
(1)如图1,若将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD,连接AD,则△ABD的面积为 .
(2)如图2,点P为CA延长线上一个动点,连接BP,以P为直角顶点,BP为直角边作等腰直角△BPQ,连接AQ,求证:AB⊥AQ;
(3)如图3,点E,F为线段BC上两点,且∠CAF=∠EAF=∠BAE,点M是线段AF上一个动点,点N是线段AC上一个动点,是否存在点M,N,使CM+NM的值最小,若存在,求出最小值:若不存在,说明理由.
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【题目】如图,△ABC是⊙O的内接三角形.AE是⊙O的直径,交BC于点G.过点A作AF⊥BC,AF分别与BC、⊙O交于点D、F,连接BE、CF.
(1)求证:∠BAE=∠CAF;
(2)若AB=8,AC=6,AG=5,求AF的长.
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【题目】已知:△ABC,AB=AC,∠BAC=90°,点D是边BC的中点,点E在边AB上(点E不与点A、B重合),点F在边AC上,联结DE、DF.
(1)如图1,当∠EDF=90°时,求证:BE=AF;
(2)如图2,当∠EDF=45°时,求证:.
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【题目】如图,矩形纸片ABCD中,已知AD =8,折叠纸片使AB边与对角线AC
重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=3,则AB的长为( )
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
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【题目】如图,点O是△ABC的边AB上一点,⊙O与边AC相切于点E,与边BC,AB分别相交于点D,F,且DE=EF.
(1)求证:∠C=90°;
(2)当BC=3,sinA=时,求AF的长.
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【题目】如图,在正方形中,是对角线上的一个动点,连接,过点作交于点.
(1)如图①,求证:;
(2)如图②,连接为的中点,的延长线交边于点,当时,求和的长;
(3)如图③,过点作于,当时,求的面积.
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【题目】小明学习完《相似三角形》一章后,发现了一个有趣的结论:在两个不相似的直角三角形中,分别存在经过直角顶点的一条直线,把直角三角形分成两个小三角形后,如果第一个直角三角形分割出来的一个小三角形与第二个直角三角形分割出来的一个小三角形相似,那么分割出来的另外两个小三角形也相似.他把这样的两条直线称为这两个直角三角形的相似分割线.如图1、图2,直线CG、DH分别是两个不相似的Rt△ABC和Rt△DEF的相似分割线,CG、DH分别与斜边AB、EF交于点G、H,如果△BCG与△DFH相似,AC=3,AB=5,DE=4,DF=8,那么AG=_____.
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