Question

【题目】已知:如图,△ABC中,AD⊥BC,点D为垂足,AD=BD,点E在AD上,BE=AC

（1）求证:△BDE≌△ADC

（2）若M、N分别是BE、AC的中点,分别联结DM、DN. 求证:DM⊥DN

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）运用HL证明△BDE≌△ADC即可；

（2）由△BDE≌△ADC可得DE=DC，∠DEM=∠C，BE=AC，再依据M、N分别是BE、AC的中点，从而可得CN=EM，进而可证明△DEM≌△DCN，可得∠CDN=∠EDM，结合∠ADC=90°即可证得结论.

（1）∵AD⊥BC，

∴∠ADC=∠BDE=90°，

在Rt△ADC和Rt△BDE中，

∴△BDE≌△ADC;

（2）如图，

∵△BDE≌△ADC，

∴DE=DC，∠DEM=∠C，

∵M、N分别是BE、AC的中点且BE=AC，

∴EM=CN，

在△DEM和△DCN中，

∴△DEM≌△DCN

∴∠EDM=∠CDN

∵∠CDN+∠NDA=90°，

∴∠MDA+∠NDA=90°，

即DM⊥DN.