Question

【题目】在Rt中，AB=BC=4，，将一直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别与边AB、BC或其延长线上交于D、E两点（假设三角板的两直角边足够长），如图（1）、图（2）表示三角板旋转过程中的两种情形.

（1）直角三角板绕点P旋转过程中，当______时，是等腰三角形；

（2）直角三角板绕点P旋转到图（1）的情形时，求证：PD=PE；

（3）如图（3），若将直角三角板的顶点放在斜边AC的点M处，设(、为正数)，求证：.

Answer 1

【答案】（1）0，2，或；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

（1）根据△PEC是等腰三角形，分类进行讨论即可；

（2）连接BP，首先根据题干条件证明出∠BPD＝∠CPE，然后证明△DPB≌△EPC，于是证明出PD＝PE；

（3）过M分别作AB、BC的垂线，垂足分别为G、H，首先根据角之间的关系求出∠GMD＝∠HME，进而证明出△MGD∽△MHE，根据相似三角形对应边成比例，得到，再求出GM、HM关于m、n的表达式，三式结合求出MD、ME之间的比例关系．

解：（1）当BE＝0时，即点B和点E重合，故可知△PEC是等腰三角形，

当BE＝2时，即E是BC的中点，可得△PEC是等腰三角形

由题干条件知PC＝，当CP＝CE时△PEC是等腰三角形，BE＝4；

当E在BC的延长线上时，CE＝CP，△PEC是等腰三角形，BE＝4＋；

故答案为：0或2或4或4＋；

（2）连接BP．

∵AB＝BC 且∠ABC＝90°，

∴∠C＝45°，

又∵P是AC中点，

∴BP⊥AC，BP＝PC 且∠ABP＝∠CBP＝45°，

∴∠CPE＋∠EPB＝90°，

∵DP⊥PE，

∴∠BPD＋∠EPB＝90°，

∴∠BPD＝∠CPE，

在△DPB和△EPC中，，

∴△DPB≌△EPC，

∴PD＝PE；

（3）过M分别作AB、BC的垂线，垂足分别为G、H．

由作图知，∠MGA＝∠MGB＝∠MHB＝∠MHE＝90°

又∵∠B＝90°，

∴∠GMH＝90°，

∴∠GMD＋∠DMH＝90°，

∵∠DMH＋∠HME＝90°，

∴∠GMD＝∠HME

∴△MGD∽△MHE，

∴①，

∵，

∴，

∵∠MGA＝∠B＝90°，

∴GM∥BC，

∴，即GM＝BC②

同理 HM＝AB，

∵AB＝BC，

∴HM＝BC③

②③代入①得：．