【题目】已知二次函数y=ax2﹣(3a+1)x+2a+1(a≠0),与x轴交与A(x1,0)B(x2,0)两点,与y轴交与C点.
(1)求出该函数的图象经过的定点的坐标.
(2)若A为(1)中所求的某一定点,且x1、x2,之间的整数恰有3个(不包括x1、x2),试求a的取值范围.
(3)当a=时,将与x轴重合的直线绕着D(﹣5,0)逆时针旋转得到直线l:y=kx+b,过点C、B分别作l的垂线段,距离为d1、d2,试分别求出当|d1﹣d2|最大和最小时b的值.
【答案】(1)定点的坐标为(1,0)或(2,﹣1);(2)﹣<a≤﹣或≤a<;(3)b的值为或﹣或10或或﹣10或.
【解析】
(1)由y=ax2﹣(3a+1)x+2a+1 (a≠0),可得y=(x2﹣3x+2)a﹣x+1,由该函数的图象经过的定点,可得x2﹣3x+2=0,解方程即可解决问题;
(2)分两种情形讨论求解,分别列出不等式组即可解决问题;
(3)当B(4,0)时,①如图1中,CE⊥l于E,BF⊥l于F,连接BC交EF于K.当CE=BF时,|d1﹣d2|的值最小,易证明△CEK≌△BFK,可得CK=BK,推出K(2,1),求出直线DK的解析式即可解决问题;另外当直线平行BC时,|d1﹣d2|的值最小;②如图2中,如图2中,作 CK⊥BF于K,则四边形CEFK是矩形,在Rt△CBK中,易知BK≤BC,推出当BC⊥DE时,|d1﹣d2|的值最大,由此求出直线DE的解析式即可解决问题;当点B坐标为(1,0)时,同法可求;
(1)∵y=ax2﹣(3a+1)x+2a+1 (a≠0),
∴y=(x2﹣3x+2)a﹣x+1,
∵该函数的图象经过的定点,
∴x2﹣3x+2=0,
∴x=1或2,
∵x=1时,y=0,x=2时,y=﹣1,
∴定点的坐标为(1,0)或(2,﹣1).
(2)易知A(1,0),B(2+ ,0),
∵x1、x2,之间的整数恰有3个(不包括x1、x2),
∴﹣3≤2+ <﹣2或4<2+ ≤5,
解得﹣<a≤﹣或≤a<.
(3)∵a=,
∴C(0,2),B(1,0)或(4,0),
①当B(4,0)时,①如图1中,CE⊥l于E,BF⊥l于F,连接BC交EF于K.
当CE=BF时,|d1﹣d2|的值最小,易证明△CEK≌△BFK,
∴CK=BK,
∵C(0,2),B(4,0),
∴K(2,1),
设直线l的解析式为y=kx+b,
把D(﹣5,0),K(2,1)代入得到,
解得,
当直线与BC平行时,|d1﹣d2|的值最小,
∵直线BC的解析式为y=﹣x+2,
此时直线的解析式为y=﹣x﹣,
∴b=﹣,
②如图2中,如图2中,作 CK⊥BF于K,则四边形CEFK是矩形,
∵CE=FK,
∴|d1﹣d2|=BF﹣CE=BK,
在Rt△CBK中,易知BK≤BC,
∴当BC⊥DE时,|d1﹣d2|的值最大,
∵直线BC的解析式为y=﹣x+2,
∴可以假设直线DE的解析式为y=2x+b,把D(﹣5,0)代入得到b=10,
综上所述,满足条件的b的值为或﹣或10.
当B点坐标为(1,0)时,同法可求b的值为或﹣10或.
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【题目】如图,已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C(0,3),与x轴分别交于点A,点B(3,0).点P是直线BC上方的抛物线上一动点.
(1)求二次函数y=ax2+2x+c的表达式;
(2)连接PO,PC,并把△POC沿y轴翻折,得到四边形POP′C.若四边形POP′C为菱形,请求出此时点P的坐标;
(3)当点P运动到什么位置时,四边形ACPB的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD,BE
(1)求证:CE=AD
(2)当点D在AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?说明理由
(3)若D为AB的中点,则当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形?说明理由.
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【题目】如图,A(﹣5,0),B(﹣3,0)点C在y的正半轴上,∠CBO=45°,CD∥AB.∠CDA=90°,点P从点A出发,沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动,运动时间为t秒.
(1)当时t=1,求PC的长;
(2)当∠BCP=15°时,求t的值;
(3)以线段PC为直径的⊙Q随点P的运动而变化,当⊙Q与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时,求t的值.
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【题目】已知:如图,△ABC是等边三角形,点D、E分别在边BC、AC上,∠ADE=60°.
(1)求证:△ABD∽△DCE;
(2)如果AB=3,EC=,求DC的长.
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【题目】已知关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1,x2.
(1)求实数k的取值范围;
(2)若x1,x2满足x12+x22=16+x1x2,求实数k的值.
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【题目】把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组,每组3张,分别标上1、2、3,将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀,再从中随机抽取一张.
(1)试求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率;
(2)若取出的两张卡片数字之和为奇数,则甲胜;取出的两张卡片数字之和为偶数,则乙胜;试分析这个游戏是否公平?请说明理由.
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【题目】如图,AC为⊙O的直径,MN为⊙O的切线,点D为切点,连结AD.直线MN与直线AC交于点B,过点A作AE⊥MN,垂足为E.
(1)求证:AD平分∠EAB.
(2)求证:AD2=AGAB.
(3)若AE=6,BE=8,求BC的长.
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