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【题目】已知二次函数yax2﹣(3a+1x+2a+1a0),与x轴交与Ax10Bx20)两点,与y轴交与C点.

1)求出该函数的图象经过的定点的坐标.

2)若A为(1)中所求的某一定点,且x1x2,之间的整数恰有3个(不包括x1x2),试求a的取值范围.

3)当a时,将与x轴重合的直线绕着D(﹣50)逆时针旋转得到直线lykx+b,过点CB分别作l的垂线段,距离为d1d2,试分别求出当|d1d2|最大和最小时b的值.

【答案】1)定点的坐标为(10)或(2,﹣1);(2)﹣a≤﹣a;(3b的值为或﹣10或﹣10

【解析】

1)由yax2﹣(3a+1x+2a+1 a0),可得y=(x23x+2ax+1,由该函数的图象经过的定点,可得x23x+20,解方程即可解决问题;

2)分两种情形讨论求解,分别列出不等式组即可解决问题;

3)当B40)时,如图1中,CElEBFlF,连接BCEFK.当CEBF时,|d1d2|的值最小,易证明△CEK≌△BFK,可得CKBK,推出K21),求出直线DK的解析式即可解决问题;另外当直线平行BC时,|d1d2|的值最小;如图2中,如图2中,作 CKBFK,则四边形CEFK是矩形,在RtCBK中,易知BKBC,推出当BCDE时,|d1d2|的值最大,由此求出直线DE的解析式即可解决问题;当点B坐标为(10)时,同法可求;

1)∵yax2﹣(3a+1x+2a+1 a0),

y=(x23x+2ax+1

∵该函数的图象经过的定点,

x23x+20

x12

x1时,y0x2时,y=﹣1

∴定点的坐标为(10)或(2,﹣1).

2)易知A10),B2+ 0),

x1x2,之间的整数恰有3个(不包括x1x2),

∴﹣32+ <﹣242+ 5

解得﹣a≤﹣a

3)∵a

C02),B10)或(40),

B40)时,如图1中,CElEBFlF,连接BCEFK

CEBF时,|d1d2|的值最小,易证明△CEK≌△BFK

CKBK

C02),B40),

K21),

设直线l的解析式为ykx+b

D(﹣50),K21)代入得到

解得

当直线与BC平行时,|d1d2|的值最小,

∵直线BC的解析式为y=﹣x+2

此时直线的解析式为y=﹣x

b=﹣

如图2中,如图2中,作 CKBFK,则四边形CEFK是矩形,

CEFK

|d1d2|BFCEBK

RtCBK中,易知BKBC

∴当BCDE时,|d1d2|的值最大,

∵直线BC的解析式为y=﹣x+2

∴可以假设直线DE的解析式为y2x+b,把D(﹣50)代入得到b10

综上所述,满足条件的b的值为或﹣10

B点坐标为(10)时,同法可求b的值为或﹣10

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