分析 (1)连接OB,更好正方形的性质得到OB=OA,∠OAB=∠OBA=∠OBC=45°,得到∠AOB=90°,根据全等三角形的判定和性质即可得到结论;
(2)①根据已知条件得到O,E,F,B四点共圆,由圆周角定理得到∠OBA=∠OEF,根据矩形的性质即可得到结论;②如图,连接BD,延长EO交AD于G于是到OG=OE,根据线段的垂直平分线的性质得到FG=EF,根据勾股定理即可得到结论.
解答 证明:(1)连接OB,
∵在正方形ABCD中,O是AC的中点,
∴OB=OA,∠OAB=∠OBA=∠OBC=45°,
∴∠AOB=90°,
又∵OE⊥OF,
∴∠AOF=∠BOE,
在△AOF和△BOE中,$\left\{\begin{array}{l}{∠AOF=∠BOE}\\{OA=OB}\\{OAB=∠OBC}\end{array}\right.$,
∴△AOF≌△BOE,
∴OE=OF;
(2)①∵∠EOF=∠FBE=90°,
∴O,E,F,B四点共圆,
∴∠OBA=∠OEF,
∵在矩形ABCD中,O是AC的中点,
∴OA=OB,∠OAB=∠OBA,
∴∠OEF=∠BAC;
②如图,连接BD,延长EO交AD于G,
∵BD与AC交于O,
则△OGD≌△DEB,
∴OG=OE,
∴AG=CE,
∵OF⊥GE,
∴FG=EF,
在Rt△AGF中,GF2=AG2+AF2,即EF2=CE2+AF2.
点评 本题考查了全等三角形的判定和性质,正方形的性质,矩形的性质,等腰三角形的性质,正确的作出辅助线是解题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 24 | B. | 12+6$\sqrt{3}$ | C. | 24+9$\sqrt{3}$ | D. | 12+9$\sqrt{3}$ |
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