分析 (1)先根据等弦所对的劣弧相等,再结合∠EBD=∠CAB从而得到∠BAD=∠EBD,最后用直径所对的圆周角为直角即可;
(2)利用三角形的中位线先求出OF,再用平行线分线段成比例定理求出半径R,最后根据相似求出BE即可.
解答 解:如图,
连接OB,∵BD=BC,
∴∠CAB=∠BAD,
∵∠EBD=∠CAB,
∴∠BAD=∠EBD,
∵AD是⊙O的直径,
∴∠ABD=90°,OA=BO,
∴∠BAD=∠ABO,
∴∠EBD=∠ABO,
∴∠OBE=∠EBD+∠OBD=∠ABD+∠OBD=∠ABD=90°,
∵点B在⊙O上,
∴BE是⊙O的切线,
(2)如图2,
设圆的半径为R,连接CD,
∵AD为⊙O的直径,
∴∠ACD=90°,
∵BC=BD,
∴OB⊥CD,
∴OB∥AC,
∵OA=OD,
∴OF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{5}{2}$,
∵四边形ACBD是圆内接四边形,
∴∠BDE=∠ACB,
∵∠DBE=∠ACB,
∴△DBE∽△CAB,
∴$\frac{DB}{AC}=\frac{DE}{BC}$,
∴$\frac{\sqrt{3}}{5}=\frac{DE}{\sqrt{3}}$,
∴DE=$\frac{3}{5}$,
∵∠OBE=∠OFD=90°,
∴DF∥BE,
∴$\frac{OF}{OB}=\frac{OD}{OE}$=$\frac{DF}{BE}$,
∴$\frac{\frac{5}{2}}{R}=\frac{R}{R+\frac{3}{5}}$,
∵R>0,
∴R=3,
∴AD=2R=6,
在Rt△ODF中,OF=$\frac{5}{2}$,OD=R=3,
∴DF=$\sqrt{O{D}^{2}-O{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{11}}{2}$
∵$\frac{OF}{OB}=\frac{DF}{BE}$,
∴BE=$\frac{OB•DF}{OF}$=$\frac{3×\frac{\sqrt{11}}{2}}{\frac{5}{2}}$=$\frac{3\sqrt{11}}{5}$
点评 此题是切线的判定,主要考查了圆周角的性质,切线的判定,平行线分线段成比例定理,相似三角形的判定和相似,圆内接四边形的性质,解本题的关键是作出辅助线.
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A. | $\sqrt{8}$ | B. | 2π | C. | $\root{3}{-27}$ | D. | sin45° |
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