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如图,在平面直角坐标系中,已知等腰直角三角形ABC,∠C=90°,AC=BC=2,点A、C分别在x轴、y轴上,当点A从原点开始在x轴的正半轴上运动时,点C在y轴正半轴上运动.
(1)当A在原点时,求点B的坐标;
(2)当OA=OC时,求原点O到点B的距离OB;
(3)在运动的过程中,求原点O到点B的距离OB的最大值,并说明理由.
分析:(1)根据A在原点时,AC在y轴上,BC⊥y轴,即可求出点B的坐标;
(2)根据OA=OC得出△OAC是等腰直角三角形,再根据AC=2,得出OA=OC=
2
,再过点B作BD⊥y轴,得出∠BCD的度数,从而得出CD和OD的值,即可求出答案;
(3)先取AC的中点E,连接OE,BE,在Rt△AOC中,OE是斜边AC上的中线,得出OE的值,再在△ACB中得出BE的值;再分两种情况讨论;当点O,E,B不在一条直线上和O,E,B三点在一条直线上时,求出OB的值,得出最大值即可.
解答:解:(1)当点A在原点时,如图1,AC在y轴上,BC⊥y轴,
所以点B的坐标是(2,2).       

(2)当OA=OC时,如图2,

△OAC是等腰直角三角形,AC=2,
所以∠OAC=∠OCA=45°,OA=OC=
2

∵△ABC是等腰直角三角形,∠C=90°,AC=BC=2,
∴AB=
AC2+BC2
=
22+22
=2
2
,∠CAB=45°,
∴∠OAB=∠CAB+∠OAC=45°+45°=90°,
OB=
(2
2
)
2
+(
2
)
2
=
10


(3)如图3,
取AC的中点E,连接OE,BE.
在Rt△AOC中,OE是斜边AC上的中线,
所以OE=
1
2
AC=1

在△ACB中,BC=2,CE=
1
2
AC=1

所以BE=
5

若点O,E,B不在一条直线上,则OB<OE+BE=1+
5

若点O,E,B在一条直线上,则OB=OE+BE=1+
5

所以当O,E,B三点在一条直线上时,OB取得最大值,最大值为1+
5
点评:此题考查了解等腰直角三角形;解题的关键是根据等腰直角三角形的性质和特点进行解答,特别是第(3)要分两种情况讨论,不要漏掉.
练习册系列答案
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(1)求点B的坐标;
(2)当∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求这时点P的坐标.

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5
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5
29

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5

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