如图.在平面直角坐标系中.已知Rt△AOB的两直角边OA.OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上.且OA.OB的长满足|OA-8|+2=0.∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线.垂足为点D.交y轴于点E．(1)求线段AB的长,(2)求直线CE的解析式,(3)若M是射线BC上的一个动点.在坐标平面内是否存在点P.使以A.B.M.P为顶点的四边形是矩形?若存在.请直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA-8|+（OB-6）²=0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．
（1）求线段AB的长；
（2）求直线CE的解析式；
（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据非负数的性质求得OA和OB的长，然后根据勾股定理求得AB的长；
（2）证明△ACD∽△AOB，则OC=CD，然后根据△ACD∽△AOB，利用相似三角形的对应边的比相等求得OC的长，从而求得C的坐标，然后根据CD⊥AB，求得AB的解析式，即可求得CE的解析式；
（3）根据勾股定理求出M点的坐标，进一步根据中点坐标公式求出P点的坐标．

解答解：（1）∵|OA-8|+（OB-6）2=0，
∴OA=8，OB=6，
在直角△AOB中，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10；
（2）∵BC平分∠ABO，
∴OC=CD，
设OC=x，则AC=8-x，CD=x．
∵△ACD和△ABO中，∠CAD=∠BAO，∠ADC=∠AOB=90°，
∴△ACD∽△AOB，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{OB}$，即$\frac{8-x}{10}=\frac{x}{6}$，
解得：x=3．
即OC=3，则C的坐标是（-3，0）．
设AB的解析式是y=kx+b，根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{-8k+b=0}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{k=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$
则直线AB的解析式是y=$\frac{3}{4}$x+6，
设CD的解析式是y=-$\frac{4}{3}$x+m，则4+m=0，则m=-4．
则直线CE的解析式是y=-$\frac{4}{3}$x-4；
（3）①当AB为矩形的边时，如图所示矩形AM₁P₁B，易知BC的直线方程为y=2x+6，
设M₁（m，2m+6），P₁（x，y），因为A（-8，0），B（0，6），则AM₁²=（m+8）²+（2m+6）²，=5m²+40m+100，BM₁²=m²+（2m+6-6）²=5m²，
AB=10，
根据AB²+AM₁²=BM₁²得100+5m²+40m+100=5m²，m=-5，
∴M₁（-5，-4），BM₁中点坐标为（-$\frac{5}{2}$，1），
BM₁中点同时也是AP₁中点，则有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-8+x}{2}=-\frac{5}{2}}\\{\frac{0+y}{2}=1}\end{array}\right.$，解得P₁（3，2）
②当AB为矩形的对角线时，此时有AB²=AM₂²+BM₂²，即100=5m²+40m+100+5m²，m=-4或m=0（舍去），
∴M₂（-4，-2），AB中点坐标为（-4，3），
AB中点同时也是P₂M₂中点，则有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-4+x}{2}=-4}\\{\frac{-2+y}{2}=3}\end{array}\right.$，解得P₂（-4，8）
综上可得，满足条件的P点的坐标为P₁（3，2）或P₂（-4，8）．

点评本题考查了待定系数法求函数的解析式以及三角形的全等的判定和性质，以及中点坐标公式的应用．

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