Question

如图，设梯形两对角线交于M，且 S_△AOB=c²，S_△AMB=a²，c＞a＞0，则S_梯形ABCD=（　　）

• A、

  4a2c4

  (c2+a2)2

• B、

  4a2c2

  c2+a2

• C、

  4a2c4

  (c2-a2)2

• D、

  4a2c2

  c2-a2

Answer 1

分析：首先由梯形的性质，得到△AOB∽△DOC，△AMB∽△CMD，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方与等高三角形面积的比等于其对应底的比，求解即可得到结果．

解答：解：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△DOC，△AMB∽△CMD，
设S_△MBC=x，则S_△MAD=x，

MC

MA

=

S△MBC

S△MAB

=

x

a2

，

S△DMC

S△DMA

=

MC

MA

=

x

a2

，S_△DMC=

x

a2

，S_△DMA=

x2

a2

．

c2+a2+x

x2 a2 +x

=

S△OBD

S△CBD

=

OB

CB

=

S△OBA

S△CBA

=

c2

a2+x

．
∴（c²+a²+x）（a²+x）=c²•（

x2

a2

+x）=

c2x

a2

（a²+x），
∴c²+a²+x=

c2

a2

•x•x=

(a2+c2)a2

c2-a2

，
∴S_梯形ABCD=a²+2x+

c2

a2

=a²+

2(a2+c2)a2

c2-a2

+

(a2+c2)2a2

(c2-a2)2

=

4a2c4

(c2-a2) 2

．
故选C．

点评：此题考查了相似三角形的面积比等于相似比的平方与等高三角形面积的比等于其对应底的比的知识．此题难度较大，要注意数形结合思想的应用与比之的计算．