Question

10．在直角坐标平面中直线l₁经过点A（-1，-6）、B（3，2），将直线l₁向上平移12个单位得到直线l₂．
求：
（1）这两条直线的解析式；
（2）直线l₁和直线l₂之间的距离．

Answer 1

分析 （1）设直线l₁的解析式为y=kx+b，将A（-1，-6）、B（3，2）两点的坐标代入，利用待定系数法可求出l₁的解析式，根据“上加下减”的平移规律可得直线l₂的解析式；
（2）设直线l₁与x轴交于点E，与y轴交于点F，直线l₂与x轴交于点G，与y轴交于点H．过O作OM⊥l₁于M，延长MO交l₂于N，则MN为直线l₁和直线l₂之间的距离．先求出E（2，0），F（0，-4），G（-4，0），H（0，8），根据勾股定理得到EF=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，GH=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，则利用三角形的面积公式求出OM=$\frac{2×4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，ON=$\frac{4×8}{4\sqrt{5}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，则MN=OM+ON=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

解答 解：（1）设直线l₁的解析式为y=kx+b，
将A（-1，-6）、B（3，2）两点的坐标代入，
得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=-6}\\{3k+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
将直线l₁的解析式为y=2x-4；
∵将直线l₁向上平移12个单位得到直线l₂，
∴直线l₂的解析式为y=2x-4+12，即为y=2x+8；

（2）如图，设直线l₁与x轴交于点E，与y轴交于点F，直线l₂与x轴交于点G，与y轴交于点H．过O作OM⊥l₁于M，延长MO交l₂于N，则MN为直线l₁和直线l₂之间的距离．
∵直线l₁的解析式为y=2x-4，直线l₂的解析式为y=2x+8，
∴E（2，0），F（0，-4），G（-4，0），H（0，8），
∴EF=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，GH=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵S_△OEF=$\frac{1}{2}$EF•OM=$\frac{1}{2}$OE•OF，
∴OM=$\frac{2×4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
同理，ON=$\frac{4×8}{4\sqrt{5}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∴MN=OM+ON=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，两平行线之间的距离，三角形的面积，难度适中．准确求出两条直线的解析式是解题的关键．