Question

【题目】已知R△ABDC中，∠C＝90°，AD、BE是角平分线，它们相交于P，PF⊥AD于P交BC的延长线于F，交AC于H.

(1)求证：AH+BD＝AB；

(2)求证：PF＝PA.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

(1)首先计算出∠APB＝135°，进而得到∠BPD＝45°，然后再计算出∠FPB＝135°，然后证明△ABP≌△FBP，得∠F＝∠CAD，然后证明△APH≌△FPD，进而得到AH＝FD，再利用等量代换可得结论.

(2)由△ABP≌△FBP可得PA＝PF.

证明(1)∵∠ACB＝90°，

∴∠CAB+∠CBA＝90°，

又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，

∴∠BAD+∠ABE＝(∠CAB+∠CBA)＝45°，

∴∠APB＝135°，

∴∠BPD＝45°，

又∵PF⊥AD，

∴∠FPB＝90°+45°＝135°，

∴∠APB＝∠FPB，

在△ABP和△FBP中，

，

∴△ABP≌△FBP(ASA)，

∴∠BAP＝∠F，

∵∠BAP＝∠CAD，

∴∠F＝∠CAD，

在△APH和△FPD中，

，

∴△APH≌△FPD(ASA)，

∴AH＝FD，

又∵AB＝FB，

∴AB＝FD+BD＝AH+BD.

(2)证明：由(1)可知△ABP≌△FBP，

∴PA＝PF，