Question

6．【探究】
如图①在△ABC中，以AC为边向外作△ACD，且AC=DC，∠ACD=90°，过点C作CE⊥AB，垂足为E，过点D作DF⊥CF，交EC延长线于点F，求证：DF=CE．
【应用】如图②，在△ABC中，以AC为边向外作△ACD，且AC=DC，∠ACD=50°，点A在AB边上，以E为顶点作∠CEA=50°，过点D作DF⊥CF，交EC延长线于点F，若AC=BC=5，AB=8，求DF的长．

Answer 1

分析 【探究】由已知条件易证∠FDC=∠ACE，进而可证明△DFC≌△CEA，由全等三角形的性质：对应边相等即可得到DF=CE；
【应用】过点C作CG⊥AB，垂足为点G，由已知条件可以得到CA=CD，∠DFC=∠CGA，由CG⊥AB，DF⊥CE，交EC的延长线于点F，∠CEA=50°，∠ACD=50°，可以得到∠DCF=∠CAG，从而可以证得△CDF≌△ACG，由全等三角形的性质可以得到DF=CG，根据在△ABC中，AC=BC=5，AB=8，过点C作CG⊥AB，可以求得CG的长，从而得到DF的长．

解答 【探究】证明：
∵∠ACD=90°，
∴∠DCF+∠ACE=90°，
∵DF⊥CF，
∴∠DCF+∠FDC=90°，
∴∠FDC=∠ACE，
∵DF⊥CF，CE⊥AB，
∴∠AEC=∠DFC=90°，
在△DFC和△CEA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFC=∠AEC=90°}\\{∠FDC=∠ACE}\\{DC=AC}\end{array}\right.$，
∴△DFC≌△CEA（AAS），
∴DF=CE；
【应用】过点C作CG⊥AB，垂足为点G，
∵CG⊥AB，DF⊥CE，交EC的延长线于点F，∠CEA=50°，∠ACD=50°，
∴∠CGA=∠CGE=∠DFC=90°，
∴∠GCE=∠CGE-∠CEA=90°-50°=40°，∠FDC+∠DCF=90°，
∵∠ECG+∠GCA+∠ACD+∠DCF=180°，
∴∠GCA+∠DCF=90°，
∴∠GCA=∠FDC，
在△CDF和△ACG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GCA=∠FDC}\\{∠DFC=∠CGA}\\{CD=AC}\end{array}\right.$
∴△CDF≌△ACG（AAS），
∴DF=CG，
∵在△ABC中，AC=BC=5，AB=8，过点C作CG⊥AB，
∴AG=4，
∴CF=$\sqrt{A{C}^{2}-A{G}^{2}}$=3，
∴DF=3．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解题的关键是正确做出题目的辅助线再找出题目中全等三角形需要的条件，题目的综合性较强，难度中等，是一道不错的中考试题．