Question

如图，抛物线c₁：y=x²-2x-3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P为线段BC上一点，过点P作直线l⊥x轴于点F，交抛物线c₁点E．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）当点P在线段BC上运动时，求线段PE长的最大值；
（3）当PE为最大值时，把抛物线c₁向右平移得到抛物线c₂，抛物线c₂与线段BE交于点M，若直线CM把△BCE的面积分为1：2两部分，则抛物线c₁应向右平移几个单位长度可得到抛物线c₂？

Answer 1

分析：（1）已知了抛物线的解析式即可求出A、B、C三点的坐标．
（2）由于直线l与y轴平行，那么F、P、E三点的横坐标就应该相等，那么PE的长可看做是直线BC的函数值和抛物线的函数值的差．由此可得出关于PE的长和三点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可得出PE的最大值．
（3）先用平移的单位设出c₂的解析式．由于直线CM把△BCE的面积分为1：2两部分，根据等高三角形的面积比等于底边比，可得出ME：BE=1：2或2：1．因此本题要分两种情况进行讨论，可过M作x轴的垂线，先根据相似三角形求出M点的横坐标，然后根据直线BE的解析式，求出M点的坐标．由于抛物线c₂经过M点，据此可求出抛物线需要平移的单位．

解答：解：（1）已知抛物线过A、B、C三点，令y=0，
则有：x²-2x-3=0，
解得x=-1，x=3；
因此A点的坐标为（-1，0），B点的坐标为（3，0）；
令x=0，y=-3，
因此C点的坐标为（0，-3）．

（2）设直线BC的解析式为y=kx-3．
则有：3k-3=0，k=1，
因此直线BC的解析式为y=x-3．
设F点的坐标为（a，0）．
PE=EF-PF=|a²-2a-3|-|a-3|=-a²+3a=-（a-

3

2

）²+

9

4

（0≤a≤3）
因此PE长的最大值为

9

4

．

（3）由（2）可知：F点的坐标为（

3

2

，0）．
因此BF=OB-OF=

3

2

．
设直线BE的解析式为y=kx+b．则有：

3k+b=0 3 2 k+b=- 15 4

，
解得：

k= 5 2 b=- 15 2

，
∴直线BE的解析式为y=

5

2

x-

15

2

．
设平移后的抛物线c₂的解析式为y=（x-1-k）²-4（k＞0）．
过M作MN⊥x轴于N，
①ME：MB=2：1；
∵MN∥EF
∴

BM

BE

=

BN

BF

=

1

3

∴BN=

1

2

，
∴N点的坐标为（

5

2

，0），又直线BE过M点．
∴M点坐标为（

5

2

，-

5

4

）．
由于抛物线c2过M点，
因此-

5

4

=（

5

2

-1-k）²-4，
解得k=

3+ 11

2

（负值舍去）．
②ME：MB=1：2；

BM

BE

=

BN

BF

=

2

3

∴BN=1
∴N点的坐标为（2，0），
∴M点的坐标为（2，-

5

2

）．
由于抛物线c₂过M点，
则有-

5

2

=（2-1-k）²-4，
解得k=1+

6

2

（负值舍去）．
因此抛物线c₁应向右平移

3+ 11

2

或1+

6

2

个单位长度后可得到抛物线c₂．

点评：本题主要考查了一次函数解析式的确定、二次函数图象的平移、图形面积的求法、函数图象交点等知识点，考查了学生分类讨论数形结合的数学思想方法．