Question

10、三个连续自然数的平方和（填“是”或“不是”或“可能是”）

不是

某个自然数的平方．

Answer 1

分析：设三个连续自然数是a-1，a，a+1，则它们的平方和是（a-1）²+a²+（a+1）²=3a²+2，故它们的和被3除余2，而自然数被3除时，余数只能是0或1或2，于是它们可以表示成3b，3b+1，3b+2（b是自然数）中的一个，则它们的平方为9b²，9b²+6b+1，9b²+12b+4，余数要么是0，要么是1，不能是2．

解答：解：设三个连续自然数是a-1，a，a+1，则它们的平方和是（a-1）²+a²+（a+1）²=3a²+2，
显然，这个和被3除时必得余数2．
另一方面，自然数被3除时，余数只能是0或1或2，于是它们可以表示成3b，3b+1，3b+2（b是自然数）中的一个，但是它们的平方（3b）²=9b²
（3b+1）²=9b²+6b+1，
（3b+2）²=9b²+12b+4
=（9b²+12b+3）+1
被3除时，余数要么是0，要么是1，不能是2，
所以三个连续自然数平方和不是某个自然数的平方．

点评：本题考查了完全平方数的性质，是一道很好的竞赛题，难度偏大．