Question

【题目】已知：直线l1与直线l2平行，且它们之间的距离为3，A，B是直线l1上的两个定点，C，D是直线l2上的两个动点（点C在点D的左侧），AB=CD=6，连接AC、BD、BC，将△ABC沿BC折叠得到△A1BC．（如图1）

（1）当A1与D重合时（如图2），四边形ABDC是什么特殊四边形，为什么？

（2）当A1与D不重合时，连接A1D，则A1 D∥BC（不需证明），此时若以A1，B，C，D为顶点的四边形为矩形，且矩形的边长分别为a，b，求（a+b）2的值．

Answer 1

【答案】（1）四边形ABDC是菱形，证明见解析；（2）（a+b）2的值为72或81．

【解析】（1）根据折叠的性质得到AC=CD，然后根据菱形的判定方法可判断四边形ABDC是菱形；

（2）讨论：当∠CBD=90°，则∠BCA=90°，由于S△A1CB=S△ABC=6，则S矩形A1CBD=12，即ab=12，由BA1=BA=6，根据勾股定理得到a2+b2=36，然后根据完全平方公式进行计算；当∠BCD=90°，则∠CBA=90°，易得BC=3，而CD=6，所以（a+b）2=（3+6）2．．

（1）四边形ABDC是菱形；

∵AB=CD，AB∥CD，

∴四边形ABCD为平行四边形，

又∵A1与D重合时，

∴AC=CD，

∴四边形ABDC是菱形；

（2）当以A1，B，C，D为顶点的四边形为矩形如图1时，连结A1B，S△A1CB=S△ABC=×6×3＝9

∴S矩形A1CBD=18，即ab=18，而在Rt△BCD中，

∴a2+b2=CD2=36

∴（a+b）2=a2+b2+2ab=36+36=72，

当以A1，B，C，D为顶点的四边形为矩形如图2时，

∴（a+b）2=（3+6）2=81，

∴（a+b）2的值为72或81．