Question

（2013•抚顺）如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-x²+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标；
（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值．

Answer 1

分析：（1）先由直线AB的解析式为y=x+3，求出它与x轴的交点A、与y轴的交点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入y=-x²+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设第三象限内的点F的坐标为（m，-m²-2m+3），运用配方法求出抛物线的对称轴及顶点D的坐标，再设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接FG，根据S_△AEF=S_△AEG+S_△AFG-S_△EFG=3，列出关于m的方程，解方程求出m的值，进而得出点F的坐标；
（3）设P点坐标为（-1，n）．先由B、C两点坐标，运用勾股定理求出BC²=10，再分三种情况进行讨论：①∠PBC=90°，先由勾股定理得出PB²+BC²=PC²，据此列出关于n的方程，求出n的值，再计算出PD的长度，然后根据时间=路程÷速度，即可求出此时对应的t值；②∠BPC=90°，同①可求出对应的t值；③∠BCP=90°，同①可求出对应的t值．

解答：解：（1）∵y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴当y=0时，x=-3，即A点坐标为（-3，0），
当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3），
将A（-3，0），B（0，3）代入y=-x²+bx+c，
得

-9-3b+c=0 c=3

，
解得

b=-2 c=3

，
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3；

（2）如图1，设第三象限内的点F的坐标为（m，-m²-2m+3），则m＜0，-m²-2m+3＜0．
∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴对称轴为直线x=-1，顶点D的坐标为（-1，4），
设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接FG，则G（-1，0），AG=2．
∵直线AB的解析式为y=x+3，
∴当x=-1时，y=-1+3=2，
∴E点坐标为（-1，2）．
∵S_△AEF=S_△AEG+S_△AFG-S_△EFG=

1

2

×2×2+

1

2

×2×（m²+2m-3）-

1

2

×2×（-1-m）=m²+3m，
∴以A、E、F为顶点的三角形面积为3时，m²+3m=3，
解得m₁=

-3- 21

2

，m₂=

-3+ 21

2

（舍去），
当m=

-3- 21

2

时，-m²-2m+3=-m²-3m+m+3=-3+m+3=m=

-3- 21

2

，
∴点F的坐标为（

-3- 21

2

，

-3- 21

2

）；

（3）设P点坐标为（-1，n）．
∵B（0，3），C（1，0），
∴BC²=1²+3²=10．
分三种情况：
①如图2，如果∠PBC=90°，那么PB²+BC²=PC²，
即（0+1）²+（n-3）²+10=（1+1）²+（n-0）²，
化简整理得6n=16，解得n=

8

3

，
∴P点坐标为（-1，

8

3

），
∵顶点D的坐标为（-1，4），
∴PD=4-

8

3

=

4

3

，
∵点P的速度为每秒1个单位长度，
∴t₁=

4

3

；
②如图3，如果∠BPC=90°，那么PB²+PC²=BC²，
即（0+1）²+（n-3）²+（1+1）²+（n-0）²=10，
化简整理得n²-3n+2=0，解得n=2或1，
∴P点坐标为（-1，2）或（-1，1），
∵顶点D的坐标为（-1，4），
∴PD=4-2=2或PD=4-1=3，
∵点P的速度为每秒1个单位长度，
∴t₂=2，t₃=3；
③如图4，如果∠BCP=90°，那么BC²+PC²=PB²，
即10+（1+1）²+（n-0）²=（0+1）²+（n-3）²，
化简整理得6n=-4，解得n=-

2

3

，
∴P点坐标为（-1，-

2

3

），
∵顶点D的坐标为（-1，4），
∴PD=4+

2

3

=

14

3

，
∵点P的速度为每秒1个单位长度，
∴t₄=

14

3

；
综上可知，当t为

4

3

秒或2秒或3秒或

14

3

秒时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形．

点评：本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式，函数图象上点的坐标特征，抛物线的顶点坐标和三角形的面积求法，直角三角形的性质，勾股定理．综合性较强，难度适中．（2）中将△AEF的面积表示成S_△AEG+S_△AFG-S_△EFG，是解题的关键；（3）中由于没有明确哪一个角是直角，所以每一个点都可能是直角顶点，进行分类讨论是解题的关键．