Question

7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²+bx+c经过点（0，-3），（2，-3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求抛物线的顶点坐标及与x轴交点的坐标；
（3）将y=x²+bx+c（y≤0）的函数图象记为图象A，图象A关于x轴对称的图象记为图象B．已知一次函数y=mx+n，设点H是x轴上一动点，其横坐标为a，过点H作x轴的垂线，交图象A于点P，交图象B于点Q，交一次函数图象于点N．若只有当1＜a＜3时，点Q在点N上方，点N在点P上方，直接写出n的值．

Answer 1

分析 （1）把点（0，-3），（2，-3）代入y=x²+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；
（2）把（1）中的一般式配成顶点式可得抛物线的顶点坐标；通过解方程x²-2x-3=0可得抛物线与x轴的交点坐标；
（3）利用图象可判断直线y=mx+n过点（1，4）、（3，0）或（1，-4）、（3，0）时满足条件，然后利用待定系数法求出两种情况下的解析式即可得到n的值．

解答 解：（1）根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{c=-3}\\{4+2b+c=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
所以抛物线解析式为y=x²-2x-3；
（2）y=x²-2x-3=（x-1）²-4，则抛物线的顶点坐标为（1，-4），
当y=0时，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
所以抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0）；
（3）∵图象A关于x轴对称的图象记为图象B，如图，
∴图象B的顶点坐标为（1，4），
∵只有当1＜a＜3时，点Q在点N上方，点N在点P上方，
∴直线y=mx+n过点（1，4）、（3，0）或（1，-4）、（3，0），
当直线y=mx+n过点（1，4）、（3，0）时，直线解析式为y=-2x+6，此时n=6；
当直线y=mx+n过点（1，-4）、（3，0）时，直线解析式为y=2x-6，此时n=-6，
∴n的值为6或-6．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．解决（3）小题的关键是数形结合的思想的运用．