Question

已知M是平行四边形ABCD的边CD的中点，N为AB边上一点，且AN=3NB，连AM、MN分别交BD于E、F（如图①）
（1）在图②中画出满足上述条件的图形，试用刻度尺在图①、②中量得DE、EF、FB的长度，并填入下表，由下表可猜想DE、EF、FB间的大小关系是_____；

（2）上述（1）中的猜想DE、EF、FB间的关系成立吗？为什么？
（3）若将平行四边形ABCD改成梯形（其中AB∥CD），且AB=2CD，其它条件不变，此时（1）中猜想DE、EF、FB的关系是否成立？若成立，说明理由；若不成立，求出DE∶EF∶FB的值。

Answer 1

解：（1）画图“略”；填表“略”；猜想：DE=EF=FB；　　　 （2）成立； 理由：∵AB∥CD， ∴△ABE∽△MED， ∴BE∶DE=AB∶DM=2∶1， 即BE=2DE， 又∵AB=DC=4NB， ∴DN=2NB， ∵AB∥DC， ∴△DMF∽△BNF， ∴DF∶FB=DN∶NB=2∶1即DF=2FB， ∴DE=EF=FB； （3）不成立； ∵AB=2CD，CD=2DM， ∴AB=4DM， ∵AB∥CD， ∴△ABE∽△MDE， ∴BE∶DE= AB∶DM=4∶1即BE=4DE， ∵AB=4NB， ∴NB=DM， ∵AB∥CD， ∴△BNF∽△DMF， ∴DF∶FB=DM∶NB=1即DF=FB， 则DE∶EF∶FB=2∶3∶5。