Question

17．问题提出
如图①，已知直线l与线段AB平行，试只用直尺作出AB的中点．
初步探索
如图②，在直线l的上方取一个点E，连接EA、EB，分别与l交于点M、N，连接MB、NA，交于点D，再连接ED并延长交AB于点C，则C就是线段AB 的中点．
推理验证
利用图形相似的知识，我们可以推理验证AC=CB．
（1）若线段a、b、c、d长度均不为0，则由下列比例式中，一定可以得出b=d的是B
A．$\frac{a}{b}$=$\frac{c}{d}$  B．$\frac{a}{b}$=$\frac{a}{d}$  C．$\frac{a}{b}$=$\frac{d}{a}$  D．$\frac{a}{c}$=$\frac{d}{b}$
（2）由MN∥AB，可以推出△EFN∽△ECB，△EMN∽△EAB，△MND∽△BAD，
△FND∽△CAD．
所以，有$\frac{FN}{CB}$=$\frac{（）}{（）}$=$\frac{MN}{AB}$=$\frac{（）}{（）}$=$\frac{FN}{AC}$，
所以，AC=CB．
拓展研究
如图③，△ABC中，D是BC的中点，点P在AB上．
（3）在图③中只用直尺作直线l∥BC．
（4）求证：l∥BC．

Answer 1

分析 （1）根据比例的性质，两內项之积等于两外项之积得出ad=ab，进而得出d=b；
（2）根据相似三角形的性质得出对应边成比例，进而解答即可；
（3）连接AD和PC，相交一点，然后连接此点和B点，交AC于一点，连接两点即可得出所求直线；
（4）过点Q作MN∥BC，交AB、AC分别于点M、N，根据相似三角形的性质进行证明即可．

解答 解：（1）根据比例的性质得出：A、ad=cb，错误；
B、ad=ab，得出d=b，正确；
C、aa=db，错误；
D、ab=cd，错误；
故选B；
（2）∵△EFN∽△ECB，△EMN∽△EAB，△MND∽△BAD，△FND∽△CAD，
∴$\frac{FN}{CB}$=$\frac{EN}{EB}$=$\frac{MN}{AB}$=$\frac{ND}{AD}$=$\frac{FN}{AC}$；
（3）如图①，
；
（4）如图②，过点Q作MN∥BC，交AB、AC分别于点M、N，

∵MN∥BC，
∴△AMQ∽△ABD，△AQN∽△ADC，
∴$\frac{MQ}{BD}$=$\frac{AQ}{AD}$，$\frac{AQ}{AD}$=$\frac{QN}{DC}$，
∴$\frac{MQ}{BD}$=$\frac{QN}{DC}$，
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，
∴MQ=NQ，
∵MN∥BC，
∴△PMQ∽△PBC，△EQN∽△EBC，
∴$\frac{MQ}{BC}$=$\frac{PQ}{PC}$，$\frac{NQ}{CB}$=$\frac{EQ}{EB}$，
∴$\frac{PQ}{PC}$=$\frac{EQ}{EB}$，
∴$\frac{PQ}{QC}$=$\frac{EQ}{BQ}$，
又∵∠PQE=∠CQB，
∴△PQE∽△CQB，
∴∠EPQ=∠BCQ，
∴PE∥BC，
即l∥BC．

点评 此题考查相似综合问题，关键是利用了两內项之积等于两外项之积的性质和相似三角形的性质进行分析解答．