Question

17．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=-l，且经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为B，经过B、C两点作直线．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）点M是直线BC上方的抛物线上的一动点，当△MBC的面积最大时，求点M的坐标和△MBC的最大面积；
（4）设点P为抛物线的顶点，连接PC，试判断PC与BC是否垂直？

Answer 1

分析 （1）把A、C两点坐标代入，结合对称轴公式，可得到关于a、b、c的方程组，可求得抛物线解析式；
（2）利用抛物线的对称性可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线BC的解析式；
（3）可设出M点坐标，过M作MD交直线BC于点D，则可用M点的坐标表示出MD的长，则可表示出△MCB的面积，根据二次函数的性质求得△MBC的最大值和M点的坐标；
（4）由P、B、C的坐标可求得PB、PC和BC的长，由勾股定理的逆定理可证得△PBC为直角三角形，可证明PC⊥BC．

解答 解：
（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过A（1，0），C（0，3）两点，且对称轴为直线x=-1，
根据题意，得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=-1}\\{a+b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-x²-2x+3；
（2）设直线BC解析式为y=mx+n，
∵对称轴为x=-1，且抛物线经过A（1，0），
∴B（-3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3m+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=x+3；
（3）设点M的坐标为（t，-t²-2t+3），
如图1，过M作MD∥y轴，交直线BC于点D，则D（t，t+3），

∵点M是直线BC上方的抛物线上的一动点，
∴MD=-t²-2t+3-（t+3）=-t²-3t，
S_△MBC=$\frac{1}{2}$MD•OB=$\frac{1}{2}$×3×（-t²-3t）=$\frac{3}{2}$×（-t²-3t）=-$\frac{3}{2}$（t+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴当t=-$\frac{3}{2}$时，S_△MBC最大，最大值为$\frac{27}{8}$，此时点M的坐标为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）；
（4）如图2，连接PB，过点P作PN⊥y轴于点N．

由（1）可得顶点P的坐标为（-1，4），
∴PN=1，ON=4，
∵B（-3，0），C（0，3），
∴OB=OC=3，
∴PB²=（3-1）²+4²=20，PC²=1²+（4-3）²=2，BC²=3²+3²=18，
∴PC²+BC²=2+18=20=PB²，
∴△PCB为Rt△，∠PCB=90°，
∴PC⊥BC．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、三角形的面积、勾股定理及其逆定理及方程思想等知识．在（1）（2）中注意待定系数法的应用步骤，在（3）中用M点的坐标表示出△MBC的面积是解题的关键，在（4）中求得PB、PC和BC的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．