Question

6．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．

（1）求∠CPE的度数；
（2）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先证出△ABP≌△CBP，根据全等三角形的性质得到∠BAP=∠BCP，进而得∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论；
（2）根据菱形的性质得到AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，根据全等三角形的性质得到PA=PC，∠BAP=∠BCP，根据等腰三角形的性质得到∠DAP=∠DCP，∠DAP=∠AEP，等量代换得到∠DCP=∠AEP推出△EPC是等边三角形，即可得到结论．

解答 （1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，
∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABP=∠CBP}\\{PB=PB}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，PA=PE，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠E，
∴∠DCP=∠E，
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠E，
即∠CPF=∠EDF=90°；

（2）解：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，
在△ABP和△CBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABP=∠CBP}\\{PB=PB}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，
∵PA=PE，
∴PC=PE，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PC，
∴∠DAP=∠AEP，
∴∠DCP=∠AEP
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠AEP，
即∠CPF=∠EDF=180°-∠ADC=180°-120°=60°，
∴△EPC是等边三角形，
∴PC=CE，
∴AP=CE．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出∠ABP=∠CBP是解题的关键．