已知△ABC的顶点A.B在抛物线y=x2+kx+5的对称轴l上.三个顶点坐标分别为A．点P从A出发.沿A→B→C→A运动一周.点P在AB或CA上运动时.运动速度为每秒2个单位,点P在BC上运动时.运动速度为每秒22个单位．设运动时间为t秒.x轴与抛物线围成的封闭区域记作M．(1)求k的值及抛物线与x轴的交点坐标,(2)在点P的运动过程中.用含t的代数式� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知△ABC的顶点A，B在抛物线y=x²+kx+5的对称轴l上，三个顶点坐标分别为A（3，5），B（3，1），C（7，5）．点P从A出发，沿A→B→C→A运动一周，点P在AB或CA上运动时，运动速度为每秒2个单位；点P在BC上运动时，运动速度为每秒2

个单位．设运动时间为t秒，x轴与抛物线围成的封闭区域记作M（阴影部分，含边界）．
（1）求k的值及抛物线与x轴的交点坐标；
（2）在点P的运动过程中，用含t的代数式表示点P的坐标；
（3）如果在点P开始运动的同时，△ABC也开始沿对称轴l以每秒1个单位的速度向下平移（当点P停止运动时，△ABC也停止运动）．经过几秒时，点P第一次刚好进入区域M？并求出使点P在区域M的t的取值范围．

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据A、B两点的横坐标相等得到直线AB的方程，再根据抛物线y=x²+kx+5的对称轴公式得到关于k的方程，求得k的值，从而得到抛物线的解析式，再根据坐标轴上的点的坐标特征即可得到抛物线与x轴的交点坐标；
（2）分三种情况：①当点P在AB上运动时，0≤t≤2；②当点P在BC上运动时，2＜t≤4；③当点P在CA上运动时，4＜t≤6时；讨论用含t的代数式表示点P的坐标；
（3）分两种情况：①当点P在AB和BC上运动，从点P运动到Q点开始进入区域M，到运动到F点离开区域M．②当点P在CA上运动，从点P运动到F点开始进入区域M，一直到A点．讨论求出使点P在区域M的t的取值范围．

解答：解：（1）∵A（3，5），B（3，1），
∴直线AB的方程为x=3，
∵抛物线y=x²+kx+5的对称轴为x=-

，
∴-

=3，
∴k=-6，
∴y=x²-6x+5，
令y=0，x²-6x+5=0，
解得x₁=1，x₂=5，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（5，0）；

（2）设AB与x轴交于点Q．
∵A（3，5），B（3，1），C（7，5），
∴AB=AC=4，BC=

(7-3)2+(5-1)2

，
∴∠BAC=90°，∠ACB=∠ABC=45°．
①当点P在AB上运动时，0≤t≤2，
∵PA=2t，A（3，5），
∴PQ=AQ-AP=5-2t，
∴此时点P的坐标（3，5-2t）；
②当点P在BC上运动时，2＜t≤4，
如图，过点P作PD⊥x轴于点D，PE⊥AB于点E．
∵PB=2

（t-2），
∴PE=BE=2（t-2）=2t-4，
∴OD=OQ+QD=OQ+PE=3+2t-4=2t-1，PD=EQ=BE+BQ=2t-4+1=2t-3，
∴此时点P的坐标（2t-1，2t-3）；
③当点P在CA上运动时，4＜t≤6时，
∵CP=2（t-4）=2t-8，
∴点P的横坐标=OQ+AP=OQ+AC-CP=3+4-（2t-8）=15-2t，

点P的纵坐标=AQ=5，
∴点P的坐标（15-2t，5）；

（3）设经过t秒时，点P运动到点Q，即第一次刚好进入区域M，
由题意，得（2+1）t=5，
解得t=

，
即当t=

时，点P第一次刚好进入区域M；
设抛物线与x轴的交点坐标为G（1，0），F（5，0），则QG=QF=2．
分两种情况：
①当点P在AB和BC上运动，从点P运动到Q点开始进入区域M，到运动到F点离开区域M．
当△ABC平移到△A′B′C′的位置时，点P运动到F点，
∵△PQB′是等腰直角三角形，

∴QB′=PQ=2，
∴t=

BB′

=1+2=3，
∴

≤t≤3；
②当点P在CA上运动，从点P运动到F点开始进入区域M，一直到A点．
当△ABC平移到△A″B″C″的位置时，点P运动到F点，
∵A″P=QF=2，
∴C″P=A″C″-A″P=4-2=2，
∴t=4+

=5，
∴5≤t≤6．
综上所述，符合条件的t值是

≤t≤3或5≤t≤6．

点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求直线的解析式，待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的对称轴公式，坐标轴上的点的坐标特征，方程思想的运用，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．

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