Question

18．如图（1），∠AOB=45°，点P、Q分别是边OA，OB上的两点，且OP=2cm．将∠O沿PQ折叠，点O落在平面内点C处．
（1）①当PC∥QB时，OQ=2cm；
②当PC⊥QB时，求OQ的长．
（2）当折叠后重叠部分为等腰三角形时，求OQ的长．

Answer 1

分析 （1）①由平行线的性质得出∠O=∠CPA，由折叠的性质得出∠C=∠O，OP=CP，证出∠CPA=∠C，得出OP∥QC，证出四边形OPCQ是菱形，得出OQ=OP=2cm即可；
②当PC⊥QB时，分两种情况：设OQ=xcm，证出△OPM是等腰直角三角形，得出OM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OP=$\sqrt{2}$，QM=$\sqrt{2}$-x，证出△CQM是等腰直角三角形，得出QC=$\sqrt{2}$QM，得出方程x=$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$-x），解方程即可；（ii）同（i）得出：OQ=2$\sqrt{2}$+2；即可得出结论；
（2）当折叠后重叠部分为等腰三角形时，符合条件的点Q共有5个；点C在∠AOB的内部或一边上时，由折叠的性质、三角形内角和定理以及解直角三角形即可求出OQ的长；点C在∠AOB的外部时，同理求出OQ的长即可．

解答 解：（1）①当PC∥QB时，∠O=∠CPA，
由折叠的性质得：∠C=∠O，OP=CP，
∴∠CPA=∠C，
∴OP∥QC，
∴四边形OPCQ是平行四边形，
∴四边形OPCQ是菱形，
∴OQ=OP=2cm；
故答案为：2cm；
②当PC⊥QB时，分两种情况：
（i）如图1所示：设OQ=xcm，
∵∠O=45°，
∴△OPM是等腰直角三角形，
∴OM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OP=$\sqrt{2}$，
∴QM=$\sqrt{2}$-x，
由折叠的性质得：∠C=∠O=45°，CQ=OQ=x，
∴△CQM是等腰直角三角形，
∴QC=$\sqrt{2}$QM
∴x=$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$-x），
解得：x=2$\sqrt{2}$-2，
即OQ=2$\sqrt{2}$-2；
（ii）如图2所示：同（i）得：OQ=2$\sqrt{2}$+2；
综上所述：当PC⊥QB时，OQ的长为2$\sqrt{2}$-2，或2$\sqrt{2}$+2．
（2）当折叠后重叠部分为等腰三角形时，符合条件的点Q共有5个；
①点C在∠AOB的内部时，四边形OPCQ是菱形，OQ=OP=2cm；
②当点C在∠AOB的一边上时，△OPQ是等腰直角三角形，OQ=$\sqrt{2}$或2$\sqrt{2}$；
③当点C在∠AOB的外部时，分两种情况：
（i）如图3所示：PM=PQ，则∠PMQ=∠PQM=∠O+∠OPQ，
由折叠的性质得：∠OPQ=∠MPQ，
设∠OPQ=∠MPQ=x，
则∠PMQ=∠PQM=45°+x，
在△OPM中，由三角形内角和定理得：45°+x+x+45°+x=180°，
解得：x=30°，
∴∠OPQ=30°，
作QN⊥OP于N，设ON=a，
∵∠O=45°，
则QN=ON=a，OQ=$\sqrt{2}$a，PN=$\sqrt{3}$QN=$\sqrt{3}$a，
∵ON+PN=OP，
∴a+$\sqrt{3}$a=2，
解得：a=$\sqrt{3}$-1，
∴OQ=$\sqrt{2}$（$\sqrt{3}$-1）=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$；
（ii）如图4所示：PQ=MQ，作QN⊥OA于N，
同①得：OQ=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$；
综上所述：当折叠后重叠部分为等腰三角形时，OQ的长为2cm或$\sqrt{2}$cm或2$\sqrt{2}$cm，或（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）cm或（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）cm．

点评 本题是三角形综合题目，考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、解直角三角形等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握折叠的性质，证明三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键，注意分类讨论．