Question

将二次函数y=2x²（如图）向右平移1个单位所得的二次函数的图象的顶点为点D，并与y轴交于点A．
（1）写出平移后的二次函数的对称轴与点A的坐标；
（2）设平移后的二次函数的对称轴与函数y=2x²的交点为点B，试判断四边形OABD是什么四边形？请证明你的结论；
（3）能否在函数y=2x²的图象上找一点P，使△DBP是以线段DB为直角边的直角三角形？若能，请求出点P的坐标；若不能，请简要说明理由．

Answer 1

解：（1）∵平移后的二次函数的解析式为y=2（x-1）²，
∴平移后的二次函数的对称轴是x=1，点A的坐标是（0，2）．

（2）∵平移后的二次函数的对称轴是x=1，
∴与函数y=2x²的交点B的坐标是（1，2），
∵y=2（x-1）^2_的顶点D的坐标是（1，0），
∴四边形OABD是矩形．

（3）当P点在P₁处时，△DBP是以线段DB为直角边的直角三角形，
此时点P的坐标为（0，0），
当P点在P₂处时，△DBP是以线段DB为直角边的直角三角形，
此时点P的坐标为（-1，2）．
分析：（1）本题需根据二次函数的平移规律即可得出平移后的二次函数的解析式，从而得出平移后的二次函数的对称轴，点A的坐标．
（2）本题需分别求出点A、B、D的坐标即可判断出四边形OABD的形状．
（3）本题需先根据题意确定出点P的位置，从而求出点P的坐标．
点评：本题主要考查了二次函数的综合应用，在解题时要能运用数形结合思想，把二次函数的图象和性质与直角三角形的性质相结合是本题的关键．