Question

【题目】如图所示，O是直线l上一点，在点O的正上方有一点A，满足OA＝3，点A，B位于直线l的同侧，且点B到直线l的距离为5，线段AB＝，一动点C在直线l上移动．

(1)当点C位于点O左侧时，且OC＝4，直线l上是否存在一点P，使得△ACP为等腰三角形？若存在，请求出OP的长；若不存在，请说明理由．

(2)连结BC，在点C移动的过程中，是否存在一点C，使得AC＋BC的值最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)存在，OP的长为4或1或9或；（2）存在，AC＋BC的最小值为10.

【解析】

(1)存在，分三种情况分析即可： ①AP=CP, ②AP=AC, ③AC=PC;(2) 作点A关于直线l的对称点A′,根据两点之间线段最短即可求解.

(1)存在．由勾股定理可求得AC＝5.当点P使得△ACP为等腰三角形时，

如图①所示，

OP1＝4，OP2＝5－4＝1，OP3＝CP3＋OC＝AC＋OC＝5＋4＝9.

在Rt△AP4O中，AP42＝OP42＋OA2，

设OP4＝x，则(4－x)2＝x2＋32，

解得x＝，∴OP4＝.

综上所述，OP的长为4或1或9或.

(2)存在．如图②所示，作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B与直线l相交于点C，

则A′B为AC＋BC的最小值．

过点A′作A′E∥l，过点B作BE⊥A′E于点E，过点A作AD⊥BE于点D.

在Rt△ABD中，AB＝，BD＝5－3＝2，

∴AD＝＝6.

在Rt△A′BE中，A′E＝AD＝6，BE＝5＋3＝8，

∴A′B＝＝10，

∴AC＋BC的最小值为10.