Question

15．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO=∠BCD．
（2）若BE=3，CD=8，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质得到答案；
（2）根据垂径定理得到CE的长，根据勾股定理计算即可．

解答 解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵AB⊥CD，
∴∠BCD+∠B=90°，
∴∠A=∠BCD，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠ACO=∠BCD；
（2）∵AB⊥CD，
∴CE=$\frac{1}{2}$CD=4，
∴BC=$\sqrt{B{E}^{2}+C{E}^{2}}$=5．

点评 本题考查的是圆周角定理、垂径定理、勾股定理，灵活运用相关定理是解题的关键．