Question

16．如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD²=41．

Answer 1

分析 根据等式的性质，可得∠BAD与∠CAD′的关系，根据SAS，可得△BAD与△CAD′的关系，根据全等三角形的性质，可得BD与CD′的关系，根据勾股定理，可得答案．

解答 解：作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD与△CAD′中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=CA\\;}\\{∠BAD=∠CAD′}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAD′（SAS），
∴BD=CD′．
∠DAD′=90°
由勾股定理得DD′=$\sqrt{A{D}^{2}+AD{′}^{2}}$，
∠D′DA+∠ADC=90°，
由勾股定理得CD′=$\sqrt{D{C}^{2}+DD{′}^{2}}$，
∴BD=CD′=$\sqrt{41}$，即BD²=41．
故答案为：41．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，勾股定理，作出全等图形是解题关键．