Question

8．如图，已知AB是⊙O的直径，C点在⊙O上，CD平分∠ACB，若AC=6，BC=8，则AD长为（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． 5
• C． 5$\sqrt{3}$
• D． 5$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据圆周角定理，由AB为⊙O直径得到∠ACB=90°，则可根据勾股定理计算出AB=10，接着根据圆周角定理得到∠ABD=∠ACD=45°，∠BAD=∠BCD=45°，于是可判断△ADB为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求AD．

解答 解：连接BD，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，∵AC=8，BC=6，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠ABD=∠ACD=45°，∠BAD=∠BCD=45°，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=5$\sqrt{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质．