Question

如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，E、F在菱形边上．
（1）证明：不论E，F分别在边BC，CD上如何移动，总有BE=CF．
（2）在（1）的情况下，即当点E，F分别在边BC，CD上移动时，请分别探究四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．

Answer 1

分析：（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB进而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；
（2）根据△ABE≌△ACF可得S_△ABE=S_△ACF，故根据S_{四边形AECF}=S_△AEC+S_△ACF=S_△AEC+S_△ABE=S_△ABC即可解题；当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据S_△CEF=S_{四边形AECF}-S_△AEF，则△CEF的面积就会最大．

解答：（1）证明：∵菱形ABCD，∠BAD=120°，
∴连接AC，
∵∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，
∴∠1=∠3，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°
∴△ABC、△ACD为等边三角形
∴∠4=60°，AC=AB，
∴在△ABE和△ACF中，

∠1=∠3 AB=AC ∠ABC=∠4

，
∴△ABE≌△ACF．（ASA）
∴BE=CF．

（2）解：四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化．
理由：由（1）得△ABE≌△ACF，
则S_△ABE=S_△ACF，
故S_{四边形AECF}=S_△AEC+S_△ACF
=S_△AEC+S_△ABE=S_△ABC，是定值，
作AH⊥BC于H点，
则BH=2，
S_{四边形AECF}=S_△ABC=

1

2

BC•AH
=

1

2

BC•

AB2-BH2

=4

3

由“垂线段最短”可知，
当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．
故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，
正三角形AEF的面积会最小，
又S_△CEF=S_{四边形AECF}-S_△AEF，则△CEF的面积就会最大．
由（2）得，S_△CEF=S_{四边形AECF}-S_△AEF
=4

3

-

1

2

×2

3

×

(2 3 )2-( 3 )2

=

3

．

点评：本题考查了菱形每一条对角线平分一组对角的性质，考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，考查了三角形面积的计算，本题中求证△ABE≌△ACF是解题的关键．