【题目】图①是一个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形,然后按图②的形状拼成一个正方形.(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积:
方法1: 方法2:
(2)观察图②请你写出下列三个代数式:(m+n)2,(m﹣n)2,mn之间的等量关系. ;
(3)根据(2)题中的等量关系,解决:已知:a﹣b=5,ab=﹣6,求:(a+b)2的值;
【答案】(1)(m-n)2;(m+n)2-4mn;(2)(m-n)2=(m+n)2-4mn;(3)1.
【解析】
(1)方法1:表示出阴影部分的边长,然后利用正方形的面积公式列式;
方法2:利用大正方形的面积减去四周四个矩形的面积列式;
(2)根据不同方法表示的阴影部分的面积相同解答;
(3)根据(2)的结论整体代入进行计算即可得解.
解:(1)方法1:∵阴影部分的四条边长都是m-n,是正方形,
∴阴影部分的面积=(m-n)2
方法2:∵阴影部分的面积=大正方形的面积减去四周四个矩形的面积
∴阴影部分的面积=(m+n)2-4mn;
(2)根据(1)中两种计算阴影部分的面积方法可知(m-n)2=(m+n)2-4mn;
(3)由(2)可知(a+b)2=(a-b)2+4ab,
∵a-b=5,ab=-6,
∴(a+b)2=(a-b)2+4ab=52+4×(-6)=25-24=1.
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【题目】△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)作出△ABC关于轴对称的△A1B1C1,并写出△A1B1C1各顶点的坐标;
(2)将△ABC向右平移6个单位,作出平移后的△A2B2C2,并写出△A2B2C2各顶点的坐标;
(3)观察△A1B1C和△A2B2C2,它们是否关于某直线对称?若是,请用实线条画出对称轴。
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【题目】旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法,通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起,从而方便解决问题.
已知,△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,点D、E在边BC上,且∠DAE=α.
(1)如图1,当α=60°时,将△AEC绕点A顺时针旋转60°到△AFB的位置,连接DF,
①求∠DAF的度数;
②求证:△ADE≌△ADF;
(2)如图2,当α=90°时,猜想BD、DE、CE的数量关系,并说明理由;
(3)如图3,当α=120°,BD=4,CE=5时,请直接写出DE的长为 .
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC的顶点坐标分别为A(﹣2,5),B(﹣4,3),C(﹣1,﹣1).
(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出点A1的坐标;
(2)请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2,并写出点A2的坐标;
(3)在边AC上有一点P(a、b),直接写出以上两次图形变换后的对称点P1、P2的坐标.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点F,C是⊙O上两点,且F,C,B三等分半圆,连接AC,AF,过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D,垂足为D.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若CD=2,求⊙O的半径.
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【题目】如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A(3,0),B(﹣1,0),与y轴交于点C.若点P,Q同时从A点出发,都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB,AC边运动,其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动.
(1)求该二次函数的解析式及点C的坐标;
(2)当点P运动到B点时,点Q停止运动,这时,在x轴上是否存在点E,使得以A,E,Q为顶点的三角形为以AQ为腰的等腰三角形?若存在,请求出E点坐标;若不存在,请说明理由.
(3)在AC段的抛物线上有一点R到直线AC的距离最大,请直接写出点R的坐标.
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【题目】如图,在ABCD中,,,,点E为CD上一动点,经过A、C、E三点的交BC于点F.
(操作与发现)
当E运动到处,利用直尺与规作出点E与点F;保留作图痕迹
在的条件下,证明:.
(探索与证明)
点E运动到任何一个位置时,求证:;
(延伸与应用)
点E在运动的过程中求EF的最小值.
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【题目】定义:如图1,点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN,若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形,则称点M、N是线段AB的勾股点.
(1)已知点M、N是线段AB的勾股点,若AM=1,MN=2,求BN的长;
(2)如图2,点P(a,b)是反比例函数y=(x>0)上的动点,直线y=﹣x+2与坐标轴分别交于A、B两点,过点P分别向x、y轴作垂线,垂足为C、D,且交线段AB于E、F.证明:E、F是线段AB的勾股点;
(3)如图3,已知一次函数y=﹣x+3与坐标轴交于A、B两点,与二次函数y=x2﹣4x+m交于C、D两点,若C、D是线段AB的勾股点,求m的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中有三个点A(2,3),B(1,1),C(4,2)
(1)连接A、B、C三点,请在如图中作出△ABC关于x轴对称的图形△A’B’C’并直接写出各对称点的坐标;(2)求△ABC的面积;(3)若M(x,y)是△ABC内部任意一点,请直接写出点M在△A’B’C’内部的对应点M1的坐标.
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