Question

（2012•中江县二模）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（6，0），若将经过B、C两点的直线y=mx+n沿y轴向下平移6则恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线x=4．
（1）求抛物线及直线BC的解析式；
（2）如果P是线段BC上一点，设△ABP、△ACP的面积分别是S_△ABP、S_△ACP，且S_△ABP=

2

3

S_△ACP，求点P的坐标；
（3）设⊙Q的半径为2，圆心Q在抛物线上运动．则在运动过程中，是否存在圆Q与坐标轴相切的情况，若存在，请求出圆心Q的坐标，若不存在，请说明理由．
（4）在（3）的情况下，设⊙Q的半径为r，是否存在与两坐标轴同时相切的圆，若存在，求出半径r的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据直线平移的规律，求出C点坐标，再根据函数对称轴为x=4，与y轴交点坐标为（0，6），利用待定系数法求出函数解析式；
（2）设P（x′，-x′+6），由S_△ABP=

2

3

S_△ACP得：S_△ABP=

2

3

（S_△ABC-S_△ABP），据此建立关于x′的方程，解方程即可求出函数解析式；
（3）分两种情况讨论：①当⊙Q与y轴相切时，有|x₀|=2，即x₀=±2．据此求出y的值；②当⊙Q与x轴相切时，有|y₀|=2，即y₀=±2．据此求出x的值．

解答：解：（1）直线y=mx+n沿y轴向下平移6后恰好经过原点，
∴n=6，C（0，6）．
将B（6，0）代入y=mx+6，得mx+6=0，m=-1．
∴直线AC的解析式为y=-x+6．
∵抛物线y=ax²+bx+c过点A、C，且对称轴x=4，c=6．
∴

36a+6b+c=0 - b 2a =4 c=6

，
解之得：

a= 1 2 b=-4 c=6

，
∴抛物线的函数解析式为y=

1

2

x2-4x+6．
注：变可设抛物线方程y=a（x-2）（x-6），代入C（0，6）即可求之．
（2）设P（x′，-x′+6），
由S_△ABP=

2

3

S_△ACP得：S_△ABP=

2

3

（S_△ABC-S_△ABP），
∴5S_△ABP=2S_△ABC．
5×

1

2

（6-2）（-x′+6）=2×

1

2

×（6-2）×6，
解之得：x′=

18

5

，
∴P（

18

5

，

12

5

）．
（3）假设⊙Q在运动过程中，存在⊙Q与坐标轴相切的情况．
设点Q的坐标为（x₀，y₀）．
①当⊙Q与y轴相切时，有|x₀|=2，即x₀=±2．
当x₀=-2时，
∴y0=

1

2

(-2)2-4×(-2)+6=16，
∴Q₁（-2，16）．
当x₀=2时，y0=

1

2

×22-4×2+6=0，
∴Q₂（2，0）．
②当⊙Q与x轴相切时，有|y₀|=2，即y₀=±2．
当y₀=-2时，有

1

2

x02-4x0+6=-2，解之得x₀=4．
∴Q₃（4，-2）．
当y₀=2时，有

1

2

x02-4x0+6=2，
解之得，x0=4±2

2

．
∴Q₄（4+2

2

，2），Q₅（4-2

2

，2）．
综上所述，存在符合条件的⊙Q，其圆心Q的坐标分别为Q₁（-2，16）、Q₂（2，0）、Q₃（4，-2）、Q₄（4+2

2

，2）、Q₅（4-2

2

，2）．
（4）存在与两坐标轴同时相切的圆．设点Q（x₁，y₁）．
当⊙Q与两坐标轴同时相切时，有|y₁|=|x₁|=r，即y₁=±x₁．
由y₁=x₁，得

1

2

x12-4x1+6=x1，即x12-10x1+12=0，
解之得：x1=5±

13

．
∴r=5±

13

．
由y₁=-x₁，得

1

2

x12-4x1+6=-x1，
即x12-6x1+12=0．
此方程无实数解．
综上所述，存在与两坐标轴同时相切的圆，此圆半径r=5±

13

．

点评：此题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、切线的判定和性质，都用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．