Question

6．如图所示，在矩形ABCD中，F是DC上的一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE=3，AE=2$\sqrt{6}$，则MD的长是（　　）

• A． $\sqrt{15}$
• B． $\frac{{\sqrt{15}}}{15}$
• C． 1
• D． $\frac{{\sqrt{15}}}{10}$

Answer 1

分析 设MD=a，MF=x，利用△ADM∽△DFM，列比例式得到a²=$\sqrt{15}$x，利用△DMF∽△DCE，列比例式得$\frac{MD}{DC}=\frac{FM}{EC}$，则$\frac{a}{\sqrt{15}}=\frac{x}{\sqrt{（a+3）^{2}-15}}$，得到a与x的关系式，列方程组化简可得x和a的值，得到答案．方法二：设DM=a，由△AEM≌△AEB，可得AB=AM=$\sqrt{15}$，BE=EM=3，由△ADM≌△DEC可得AD=DE=a+3，在Rt△ADM中，可得（a+3）²=a²+（$\sqrt{15}$）²，由此即可解决问题．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵AE平分∠BAF，且DE⊥AF，
∴AB=AM，BE=EM=3，
又∵AE=2$\sqrt{6}$，
∴AM=AB=$\sqrt{A{E}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{6}）^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
设MD=a，MF=x，
在△ADM和△DFM中，
∵∠AMD=∠DMF=90°，
∠ADM=∠DFM，
∴△ADM∽△DFM，
∴$\frac{DM}{AM}=\frac{FM}{DM}$，
∴DM²=AM•MF，
∴a²=$\sqrt{15}$x，
在Rt△DEC中，DE=3+a，DC=AB=$\sqrt{15}$，
由勾股定理得：EC=$\sqrt{（a+3）^{2}-（\sqrt{15}）^{2}}$=$\sqrt{（a+3）^{2}-15}$，
在△DMF和△DCE中，
∵∠DMF=∠C=90°，
∠MDF=∠MDF，
∴△DMF∽△DCE，
∴$\frac{MD}{DC}=\frac{FM}{EC}$，
∴$\frac{a}{\sqrt{15}}=\frac{x}{\sqrt{（a+3）^{2}-15}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=\sqrt{15}x}\\{\sqrt{15}x=a\sqrt{（a+3）^{2}-15}}\end{array}\right.$，
解之得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{x=\frac{\sqrt{15}}{15}}\end{array}\right.$，
∴MD=1，
故答案选：C．
方法二：设DM=a，由△AEM≌△AEB，可得AB=AM=$\sqrt{15}$，BE=EM=3，
由△ADM≌△DEC可得AD=DE=a+3，
在Rt△ADM中，可得（a+3）²=a²+（$\sqrt{15}$）²，解得a=1．

点评 本题考查了角平分线的性质以及三角形相似的判定方法，解题的关键在于利用三角形相似构造方程求得对应边的长度．