Question

如图，四边形ABCD的对角线AC、DB相交于点O，已知：AC=BD，∠OBC=∠OCB．
（1）求证：AB=DC；
（2）判别结论“四边形ABCD一定是等腰梯形”是否正确，若正确请证明，若不正确请举出一个反例．

Answer 1

分析：（1）求出OC=OB，求出AO=DO，根据SAS证△AOB≌△DOC，根据全等三角形的性质推出即可；
（2）根据等腰三角形性质推出∠OAD=∠ODA，∠OBC=∠OCB，根据三角形的内角和定理和对顶角相等得出∠ADO=∠OBC，推出AD∥BC，得出梯形ABCD，根据AB=DC即可得出等腰梯形ABCD．

解答：（1）证明：∵∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC，
∵AC=BD，
∴OA=OD，
在△AOB和△DOC中
∵

OA=OD ∠AOB=∠DOC OB=OC

，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴AB=DC．

（2）四边形ABCD一定是等腰梯形，
证明：∵OA=OD，OB=OC，
∴∠OAD=∠ODA，∠OBC=∠OCB，
∵∠OAD+∠ODA+∠AOD=180°，∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，∠BOC=∠AOD，
∴∠ADO=∠OBC，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是梯形，
∵由（1）知：AB=DC，
∴梯形ABCD是等腰梯形．

点评：本题考查了等腰梯形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，主要考查了学生的推理能力，题目比较好，是一道综合性比较强的题目．