Question

17．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线与CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且点F恰好为边AD的中点．
（1）求证：△ABF≌△DEF；
（2）若AG⊥BE于G，BC=4，AG=1，求BE的边长．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，根据平行线的性质得到∠ABF=∠E，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据平行四边形的性质和角平分线的定义可求出AB=AF，再根据等腰三角形的性质可求出BG的长，进而可求出BF的长，根据全等三角形的性质得到BF=EF，所以BE=2BF，问题得解．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABF=∠E，
∵点F恰好为边AD的中点，
∴AF=DF，
在△ABF与△DEF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABF=∠E}\\{∠AFB=∠AFE}\\{AF=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DEF；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=4，
∵∠AFB=∠FBC，
∵∠ABC的平分线与CD的延长线相交于点E，
∴∠ABF=∠FBC，
∴∠AFB=∠ABF，
∴AB=AF，
∵点F为AD边的中点，AG⊥BE．
∴BG=$\sqrt{A{B}^{2}-A{G}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴BE=2$\sqrt{3}$，
∵△ABF≌△EDF，
∴BE=2BF=4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质、勾股定理的运用，题目的综合性较强，难度中等．