如图.在△ABC中.AB=AC.AD⊥BC于点D.BC=10cm.AD=8cm.点P从点B出发.在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动.与此同时.垂直于AD的直线m从底边BC出发.以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移.分别交AB.AC.AD于E.F.H.当点P到达点C时.点P与直线m同时停止运动.设运动时间为t秒．(1)当t=2时.连接DE.DF.求证:四边形AEDF为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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6．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm，点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB，AC，AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；
（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长．

分析（1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；
（2）如答图2所示，首先求出△PEF的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解．

解答（1）证明：当t=2时，DH=AH=4，则H为AD的中点，如答图1所示．
又∵EF⊥AD，
∴EF为AD的垂直平分线，
∴AE=DE，AF=DF．
∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴AD⊥BC，∠B=∠C．
∴EF∥BC，
∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形．

（2）解：如答图2所示，由（1）知EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC．
∴$\frac{EF}{BC}=\frac{AH}{AD}$，即$\frac{EF}{10}=\frac{8-2t}{8}$．
解得：EF=10-$\frac{5}{2}$t．
S_△PEF=$\frac{1}{2}$EF•DH=$\frac{1}{2}$（10-$\frac{5}{2}$t）•2t=-$\frac{5}{2}$t²+10t=-$\frac{5}{2}$（t-2）²+10（0＜t＜$\frac{10}{3}$），
∴当t=2秒时，S_△PEF存在最大值，最大值为10cm²，此时BP=3t=6cm．

点评本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型．第（1）问考查了菱形的定义；第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值，利用相似三角形的性质表示出EF的长是解题的关键．

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④当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时始终有EF=AP．（点E不与A、B重合），
上述结论中始终正确的有（　　）

A．

①④

B．

①②

C．

①②③

D．

①②③④

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第3式$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}$ 第4式$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}=\sqrt{5}-\sqrt{4}$．
…
（1）请写出第n个式子；
（2）若$\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4+\sqrt{3}}}+…+$$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=19，求n的值；
（3）请说明：$\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+…+$$\frac{1}{\sqrt{10}+\sqrt{9}}$＜3．

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