Question

6．如图1，A（-4，$\frac{1}{2}$）、B（-1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m＜0）图象的两个交点．
（1）根据图象回答：当x满足x＜-4或-1＜x＜0，一次函数的值小于反比例函数的值；
（2）将直线AB沿y轴方向，向下平移n个单位，与双曲线有唯一的公共点时，求n的值；
（3）如图2，P点在y=$\frac{m}{x}$的图象上，矩形OCPD的两边OD、OC在坐标轴上，且OC=2OD，M、N分别为OC、OD的中点，PN与DM交于点E，直接写出四边形EMON的面积为$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 （1）由A、B点的坐标，结合图象可求得答案；
（2）由待定系数法可求得直线AB和反比例函数解析式，可设出向下平移后的直线解析式，联立该直线与反比例函数解析式，消去y，得到关于x的一元二次方程，由判别式等于0可得到关于n的方程，可求得n的值；
（3）由条件可求得P点坐标，则可求得直线PN、DM的解析式，联立两直线解析式可求得E点坐标，过E作EG⊥x轴于点G，利用S_{四边形EMON}=S_△MEG+S_梯形ODEG可求得答案．

解答 解：
（1）一次函数的值小于反比例函数的值即直线在反比例函数图象的下方时对应的x的取值范围，
由图象可知x的取值范围为x＜-4或-1＜x＜0，
故答案为：x＜-4或-1＜x＜0；
（2）把A、B两点坐标代入y=kx+b可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}=-4k+b}\\{2=-k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线AB解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$，
把B点坐标代入反比例函数解析式可得m=-2，
∴反比例函数解析式为y=-$\frac{2}{x}$，
设平移后的直线解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$-n，联立该直线与反比例函数解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}}\\{y=-\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，
消去y整理可得x²+（5-2n）x+4=0，
∵直线与双曲线有唯一的公共点，
∴△=0，即（5-2n）²-16=0，解得n=$\frac{1}{2}$或n=$\frac{9}{2}$；

（3）∵点P在y=-$\frac{2}{x}$上，
∴OC•OD=2，
∵OC=2OD，
∴OC=2，OD=1，
∴P（-2，1），D（0，1），
∵M、N分别为OC、OD的中点，
∴M（-1，0），N（0，$\frac{1}{2}$），
由待定系数法可求得直线PN的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{2}$，直线DM的解析式为y=x+1，
联立两直线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}{5}}\\{y=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，
∴E（-$\frac{2}{5}$，$\frac{3}{5}$），
过E作EG⊥x轴于点G，如图，

∴S_{四边形EMON}=S_△MEG+S_梯形ONEG=$\frac{1}{2}$MG•EG+$\frac{1}{2}$（EG+ON）•OG=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{5}$）×$\frac{2}{5}$=$\frac{9}{50}$+$\frac{11}{50}$=$\frac{2}{5}$，
故答案为：$\frac{2}{5}$．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、一元二次方程根的判别式、方程思想及数形结合思想等知识．在（1）中注意数形结合，在（2）中求得两函数的解析式是解题的关键，在（3）中求得E点坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．