Question

10．已知一次函数y=x+3图象交x轴、y轴于A、B两点，点P是一次函数y=x+3图象上位于第一象限内一点，以点P为顶点的抛物线y=ax²+bx+c经过点B，抛物线交x轴于C、D两点（如图）．
（1）若点B是AP的中点，求点P的坐标；
（2）当点C的坐标（-1，0）时，求此时抛物线的表达式；试问：是否能使△ABC∽△ABD？若能，请求出此时抛物线的表达式；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求得点A和点B的坐标，然后依据中点坐标公式可求得点P的坐标；
（2）设点P的坐标为（h，h+3），抛物线的解析式为y=a（x-h）²+h+3，把点B的坐标代入可求得a=-$\frac{1}{h}$，则y=-$\frac{1}{h}$（x-h）²+h+3，将点C的坐标代入可求得h的值，从而得到抛物线的解析式；由y=-$\frac{1}{h}$（x-h）²+h+3变形得到：y=-$\frac{1}{h}$x²+2x+3．设点C（a，0）、D（b，0）则AC=a+3，AD=b+3．令y=0得：-$\frac{1}{h}$x²+2x+3=0，依据一元二次方程根与系数的关系得到a+b=2h，ab=-3h，由相似三角形的判定定理可知当AB²=AC•AD时，△ABC∽△ABD，然后依据AB²=AC•AD可得到关于h的一元一次方程，从而可求得h的值，将h的值代入可得到抛物线的解析式．

解答 解：（1）把x=0代入y=x+3得：y=3，
∴B（0，3）．
把y=0代入得：x+3=0，解得：x=-3，
∴A（-3，0）．
设点P的坐标为（x，y），由中点坐标公式可知$\frac{x-3}{2}$=0，$\frac{y+0}{2}$=3，
解得：x=3，y=6．
∴点P的坐标为（3，6）．

（2）设点P的坐标为（h，h+3），抛物线的解析式为y=a（x-h）²+h+3．
把x=0，y=3代入得：ah²+h+3=3，解得：a=-$\frac{1}{h}$或h=0（舍去）．
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{h}$（x-h）²+h+3．
将点C的坐标代入得：-$\frac{1}{h}$（-1-h）²+h+3=0，解得：h=1．
∴抛物线的解析式为y=-（x-1）²+4，整理得y=-x²+2x+3．
能使得：△ABC∽△ABD．
理由：y=-$\frac{1}{h}$（x-h）²+h+3得：y=-$\frac{1}{h}$x²+2x+3．
设点C（a，0）、D（b，0）则AC=a+3，AD=b+3．
令y=0得：-$\frac{1}{h}$x²+2x+3=0，则a+b=2h，ab=-3h．
在Rt△AOB中，依据勾股定理可知AB²=OB²+CO²=18．
∵∠BAC=∠DAB，
∴当$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AD}{AB}$时，△ABC∽△ABD．
∴AB²=AC•AD时，△ABC∽△ABD．
∴18=AC•AD，即18=（a+3）（b+3），整理得：ab+3（a+b）=9，
将a+b=2h，ab=-3h代入得：-3h+6h=9，解得h=3，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x²+2x+3．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了中点坐标公式、勾股定理、一元二次函数根与系数的关系、相似三角形的判定定理，得到关于依据一元二次方程根与系数的关系以及相似三角形的性质列出关于h的方程是解题的关键．